1.2.3. Представление с помощью комплексных чисел.

Поскольку речь идет о векторах, расположенных в одной плоскости, то можно плоскость на рис. 1.9 считать комплексной и трактовать вектор как комплексное число, вещественная и мнимая части которого представляют собой соответственно проекции вектора на оси Вектор определяется комплексным числом

Член определяет собой неподвижный вектор отнесенный к неподвижным осям (рис. 1.9). Величина называется комплексной амплитудой или просто комплексным током. Точно так же, рассматривая напряжение мы можем ввести величину которую будем называть комплексным напряжением.

Покажем теперь, что сложение двух синусоидальных функций, изображенное на рис. 1.9, можно произвести и без графического построения. Действительно, пусть даны две (или несколько) синусоидальных функций, представляющих собой, например, ток

Положим, что

Так как сложение комплексных чисел подчиняется правилу векторного сложения, то очевидно, что вектор на рис. 1.9 определяется комплексным числом Искомая синусоидальная функция будет представлять собой мнимую часть от

Производная по времени функции будет мнимой частью производной по времени от функции В этом легко убедиться непосредственно, если сравнить оба выражения. Точно так. же неопределенный интеграл по времени от совпадает с мнимой частью интеграла от Отсюда можно вывести следующее правило: дано

несколько синусоидальных функций. Требуется определить синусоидальную функцию, представляющую результат подстановки линейное и

однородное выражение первого порядка

Здесь коэффициенты не зависят от времени. Положим

Член входит множителем во все слагаемые выражения (3). Окончательный результат, очевидно, может быть написан в виде

Мнимая часть этого выражения и есть искомая синусоидальная функция

Вещественная часть дает результат подстановки в (3) соответствующих косинусоидальных функций.