4.1.22. Ортогональное преобразование.
Нам нужно определить матрицу преобразования 
, с помощью которого пространство, отнесенное к ортогональным осям координат, преобразуется в новое пространство, также отнесенное к ортогональным осям. Для этого достаточно, чтобы при таком преобразовании сохранились длины векторов.
Пусть задан вектор, представляемый в прежнем пространстве матрицей 
и квадрат его модуля равен 
. В новом пространстве, где тот же вектор выражен через матрицу 
этот квадрат будет равен 
Следовательно,
Но
поэтому
т. е.
Итак, матрица о выражает ортогональное преобразование, если транспонированная по отношению к ней матрица совпадает с обратной.
Рассмотрим два вектора, представленные в некоторой системе координат матрицами и 
Матрица а связывает проекции этих векторов на оси координат.
Преобразуем систему координат с помощью матрицы о. Тогда координаты обоих векторов образуют в новой системе матрицы 
Отыщем матрицу 
связывающую новые координаты этих векторов:
В матричных обозначениях имеем
Уножим обе части последнего равенства слева на 
Тогда
откуда
Если преобразование о ортогонально, то 
В этом случае
