3.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ

3.4.1. Определение.

Рассмотрим трехмерное пространство, в котором введена система прямоугольных координат Мы можем связать это пространство с системой криволинейных координат. Пусть между прямоугольными координатами х, у, z и криволинейными координатами устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами

и

Уравнения и представляют собой уравнения координатных поверхностей криволинейной системы в прямоугольной системе координат.

Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фиксированную точку образует в пересечении координатную линию. Параметрические уравнения координатных линий получаются из уравнений (70), если в них поочередно изменять только одну из переменных оставляя при этом неизменными остальные две (рис. 3.25).

Рис. 3.25.

В этой главе мы ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат, неортогональные системы будут изучены в п. 5.2.1 и последующих. По определению, криволинейные координаты называются ортогональными, если в любой точке касательные к координатным линиям образуют прямоугольный трехгранник.

Квадрат элемента длины в прямоугольных координатах дается формулой

В случае ортогональных криволинейных координат эта формула приобретает следующий вид:

где обозначают величины

Если элемент параллелен касательной в точке к оси то его длина будет равна Аналогично длины элементов, параллельных осям равны и Так как величины являются функциями координат точки, их называют единицами локальной длины.

Рассмотрим скалярную функцию точки Выражение этой функции в криволинейной системе координат получается простой заменой х, у, z их значениями (70). Пусть теперь векторная функция точки, проекции вектора А на оси прямоугольной системы

координат. Проведем в точке М(х, у, z) касательные к криволинейным осям и обозначим через проекции вектора А на эти касательные. Используя формулы (4) и (5), получим

В этих формулах

Пример. Рассмотрим систему координат связанную с прямоугольными координатами х, у, z по формулам:

Координатные поверхности имеют вид:

Эти три поверхности попарно ортогональны, так как ортогональны софокусные эллипсы и гиперболы, а плоскости с перпендикулярны образующим полученных цилиндров (рис. 3.26).

Рис. 3.26.

Координатные линии представляют собой гиперболу, эллипс (обе кривые в плоскости, перпендикулярной оси и прямую, параллельную оси и проходящую через точку (см. рисунок). Квадрат элемента длины равен

Следовательно, единицы локальной длины соответственно равны

Проекции векторной функции

относительно криволинейных осей координат находятся по формулам:

Замечание. С криволинейными ортогональными координатами не так легко обращаться, как с прямоугольными. Обычно уравнения (70) однозначно определяют х, у, z по криволинейным координатам, однако уравнения (71) не являются однозначными функциями прямоугольных координат. Это нарушение взаимной однозначности приводит к существенным трудностям.

Рассмотрим эллиптические координаты на плоскости. Они определяются по формулам рассмотренного выше примера, если ограничиться случаем постоянного z.

Пусть принимают все возможные значения (т. е. все значения, заключенные соответственно между и между и Тогда каждая точка плоскости пробегается по два раза. Эти точки получатся по одному разу, если принять одно из следующих двух ограничений:

Однако и при этих ограничениях имеется неустранимое нарушение непрерывности. Изучим этот вопрос подробнее.

Точки, расположенные на отрезке (см. рис. 3.26), находятся на бесконечно сплюснутом эллипсе и в вершинах гипербол Рассмотрим точки расположенные на гиперболе вблизи отрезка по разные стороны от него. Если меняется от до (случай 1), то и необходимо Пусть точки и неограниченно приближаются друг к другу, оставаясь на одной и той же гиперболе. Тогда и стремятся к нулю, остаются постоянными. Следовательно, в случае 1 бесконечно близкие к отрезку точки имеют существенно разные эллиптические координаты (по

Далее, точки, расположенные на оси вне отрезка находятся на вырожденной гиперболе и в вершинах эллипсов Рассмотрим теперь точки на эллипсе положение которых показано на рис. 3.26. Если меняется от до (случай 2), то и необходимо При неограниченном сближении по одному и тому же эллипсу стремятся к нулю, остаются постоянными. Следовательно, в случае 2 бесконечно близкие к полупрямым точки имеют существенно разные эллиптические координаты (по

Фактически в случаях 1 и 2 мы имеем две разные системы эллиптических координат.