Второй интеграл вычисляем аналогично первому. Имеем
Так как
то полученное выражение можно разложить в ряд и проинтегрировать:
где
Таким образом, получаем разложение в ряд Лорана
Коэффициенты
определяются формулами (11) и (13).
Так как
можно выбрать сколь угодно малым, то точка
может быть сколь угодно близка к точке а. Следовательно, разложение в ряд Лорана представляет собой разложение в ряд функции
вблизи полюса или существенно особой точки. Использование разложения в ряд Лорана позволяет более точно классифицировать полюсы и существенно особые точки.
Если в ряде Лорана имеется только конечное число коэффициентов типа
то особая точка является полюсом для рассматриваемой функции.
Обозначим через
наивысшую степень
входящую в разложение Лорана. Число
есть порядок полюса; если
то полюс называется простым.
Если разложение Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями
, то точка а является существенно особой точкой. Примеры. Дана функция
Найдем ее разложение в ряд Лорана вблизи полюса
Имеем
Вблизи полюса
имеем
Рассмотрим, далее, функцию
Найдем ее разложение в ряд Лорана вблизи существенно особой точки
Непосредственно получаем
Интегрирование по методу вычетов