7.6.20. Определение функции Лежандра второго рода через интеграл Коши.

Мы видели в п. 7.6.18, что дифференциальное уравнение Лежандра (99) допускает в качестве решения криволинейный интеграл от функции

взятый по такому контуру (комплексной плоскости что при его обходе функция (138) остается однозначной. Можно определить контур, отличный от контура, приведенного на рис. 7.45, который обладал бы тем же свойством. Мы видели, что при полном обходе в положительном направлении вокруг точки разветвления функция (138) умножается на Ясно, что при обходе точки разветвления в отрицательном направлении та же функция (138) умножается на Следовательно, если в качестве контура взять любую кривую, имеющую форму восьмерки

и окружающую точки не как показано на рис. 7.48, то криволинейный интеграл

будет удовлетворять дифференциальному уравнению Лежандра. Это позволит определить функцию Лежандра второго рода для любых значений индекса и (за счет выбора допустимого контура) произвольных значений аргумента z вне отрезка

Замечание. Из рассуждений предыдущих пунктов следует, что из всех уравнений Лежандра (99) только уравнение с равным целому числу допускает ограниченное решение в замкнутом интервале Это решение единственное, оно совпадает с полиномом Лежандра

Рис. 7.48.

Если значение исключено, то при произвольном существует единственное конечное решение, совпадающее с

Решение уравнения Лежандра, стремящееся к нулю при бесконечно возрастающем дают только функции Лежандра второго рода.