7.6.14. Функции Лежандра первого рода.

По определению, функция Лежандра первого рода представляет собой решение дифференциального уравнения (99), принимающее при значение 1.

Если в уравнении (99) произвести замену переменной то оно принимает вид

Это частный случай дифференциального уравнения, определяющего гипергеометрическую функцию Гаусса (см. пример из п. 6.2.10), при

Придадим постоянной значение 1, тогда

или, в виде ряда,

Если равно целому положительному числу или целому отрицательному числу то ряд обрывается на члене, содержащем Располагая этот полином по степеням z, мы опять получаем полином Лежандра определяемый формулой (105).

Если решение (99), то также будет его решением. Предположим, что линейно независимы. В этом случае общий интеграл (99) будет

Рассмотрим вопрос о линейной независимости Для этого изучим поведение когда z стремится к —1, или, при замене переменной поведение когда 6 стремится к k. При этой замене переменной уравнение (99) приобретает вид

Если ограничиться рассмотрением значений 6, очень близких к нулю, то общее решение уравнения (126) будет очень близким к общему решению уравнения

равному

Это решение бесконечно возрастает, если 6 приближается к нулю. Так как при функция стремится к то линейно независимы только в случае, если бесконечно возрастает при Согласно (125), это имеет место при нецелых, и, как нетрудно убедиться, порядок возрастания при —1 тот же, что и у функции

Так как обе функции принимают одинаковое значение при то можно рассматривать как апроксимацию при малых значениях 6.

Если равно целому числу то дело обстоит иначе. Действительно, в силу формулы (121),

и общее решение уже не будет равно

так как не возрастает бесконечно, если стремится , а принимает значение Следует ввести другое решение линейно независимое от При этом общее решение будет

Это решение называемое функцией Лежандра второго рода, определяется в конце п. 7.6.19.

Ряд (125) достаточно быстро сходится только при. При им неудобно пользоваться для вычисления особенно при z, близких Гобсон нашел разложение быстро сходящееся при для значений индекса не слишком больших по сравнению с единицей:

где

Здесь логарифмическая производная функции постоянная Эйлера (см. п. 7.4.1 и последующие).

Если индекс близок к нулю или единице, иначе говоря, равен или мало), то можно написать

с погрешностью, меньшей при Функции, соответствующие индексу можно получить из двух предыдущих, если несколько раз применить рекуррентную формулу (134).

7.6.15. Описание поверхности ...

Поверхность (рис. 7.43) проходит через прямую Плоскость, касающаяся поверхности по этой прямой, параллельна плоскости координат Кривые — сечения поверхности плоскостями удаляются от касательной плоскости тем скорее, чем больше Обозначим через ближайшее целое число, меньшее Если стремится к к, эти кривые стремятся после колебаний к за исключением случая, когда равно целому числу тогда они стремятся к Скорость бесконечного возрастания кривой тем больше, чем ближе к целому числу, и, при прочих равных условиях, чем больше.

В заключение отметим, что рассматриваемую поверхность можно представить в виде полуполосы шириной бесконечной в направлении возрастающих Эта поверхность по мере удаления от оси в разделяется на ленть: шириной в единицу. Каждая из лент образует тем большее число складок, чем больше ленты попеременно стремятся к и вдоль плоскости