10.3.15. Приближение функции по Чебышеву.

Дана функция непрерывная вместе со своими производными, в интервале Как мы уже видели, общая задача приближения заключается в том, чтобы найти функцию которая наилучшим образом приближает в этом интервале. Выражение "наилучшим образом" может быть определено критерием наименьших квадратов, что приведет к способам приближения, описанным в п. 10.3.9 и последующих. Выражение это может быть также определено условием сделать как можно меньшим наибольшее отклонение между Это называется приближением по Чебышеву.

Функция должна быть удобнее в обращении, чем функция Мы ограничимся случаем, когда представляет собой полином

Нахождение полинома, который делает максимум отклонения от на промежутке наименьшим по сравнению с любым другим полиномом той же степени, есть очень трудная задача. Мы будем поэтому решать несколько более легкую задачу и искать полином, который делает этот максимум "по возможности" малым.

Не уменьшая общности, всегда можно предположить, что интервал определения равен так как перенос начала на и изменение масштаба в отношении немедленно приведут к этому случаю.

Мы видели в п. 10.3.2, что полином степени, совпадающий с данной функцией точках интервала с абсциссами представляет собой интерполяционный полином Лагранжа и что ошибка, совершенная в точке х при замене полиномом равна

Абсцисса здесь такова, что

Определим последовательность абсцисс а таким образом, чтобы абсолютное значение максимума было возможно меньшим, когда х пробегает интервал

Возьмем Здесь - полином Чебышева степени, и поэтому а будут нулями этого полинома.

Известно, что, в силу свойств полинома Чебышева полином принимает попеременно раза значения когда х возрастает от —1 до и что это единственный полином вида наибольшие абсолютные значения амплитуд которого (все равные

самые малые из всех возможных. Последовательность значений будет поэтому

Теперь искомый полином может быть написан в виде формулы, дающей интерполяционный полином Лагранжа для абсцисс определенных предыдущим выражением. Однако предпочтительнее поступить иначе. Всякая степень может быть разложена в линейную комбинацию полиномов Чебышева степеней Например,

Поэтому искомый полином может быть записан в виде

Достаточно определить коэффициенты Функцию можно написать в виде

Положим Имеем

Для значений мы имеем

Следовательно, для значений мы имеем

Значит, коэффициенты представляют собой коэффициенты разложения в ряд Фурье, ограниченный членом, четной функции Отсюда

и

Пример. Найдем полином третьей степени, приближающийся, по Чебышеву, к функции между Полином, приближающий эту функцию, был уже определен критерием наименьших квадратов

Мы имеем Поэтому

Отсюда полином будет

иначе говоря,

Ошибка будет порядка

если заменить числом 0, которое является серединой рассматриваемого интервала.