1.2.2. Графическое изображение синусоидальной функции.

Рассмотрим вектор постоянной длины вращающийся в заданной плоскости вокруг точки О с угловой скоростью . Введем в указанной плоскости систему прямоугольных координат (рис. 1.9). Пусть - угол, образованный с осью в начальный момент времени. Тогда ордината точки в момент времени выражается формулой

Вектор удобно использовать для графического представления синусоидальных функций времени (синус получится при проектировании на ось косинус — на ось

Рис. 1.9.

Пусть нам нужно сложить две синусоидальные функции с одинаковым периодом, но с разными начальными фазами

По известному правилу вектор изображающий сумму обеих функций можно получить как геометрическую сумму векторов изображающих эти функции. Все три вектора вращаются одновременно с угловой скоростью Легко непосредственно проверить, что ордината точки представляет собой сумму функций Аналогично абсцисса точки равна сумме функций

Вместо того чтобы вращать векторы с угловой скоростью можно предположить, что они неподвижны, а оси координат вращаются с угловой скоростью —

На рис. 1.9 изображено относительное расположение векторов и осей (в момент

Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду и фазу и тем самым позволяет найти выражения

Часто нужно уметь вычислять производные или интегралы синусоидальных функций типа Имеем

Производные и первообразные от функции I изображаются векторами, повернутыми по отношению к исходному вектору соответственно на угол и Длины этих векторов будут Такой прием позволяет графически получить синусоидальные решения дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотренный нами способ векторного представления весьма употребителен. Однако графические построения становятся неудобными и мало точными в случае длинных и сложных вычислений, особенно когда порядок величин векторов весьма различен. Способ же, который мы сейчас изложим, соединяет в себе простоту графического приема с точностью алгебраических вычислений.