9.2.9. Изучение моментов второго порядка. Определение.

Флуктуации представляют собой весьма сложное явление, даже в какой-то мере неуловимое, поскольку оно все время изменяется непредвиденным образом. Поэтому экспериментатор должен ограничиться несколькими характерными величинами, которые могут дать качественное представление об изучаемом явлении. В случае стационарных явлений часто довольствуются моментами первого и второго порядков, т. е. математическим ожиданием (предполагается, что оно равно нулю) и корреляционной функцией физический смысл которой мы вскоре выясним. Это, очевидно, наиболее простые статистические характеристики. Кроме того, корреляционные функции удобны по следующей причине. Очень часто флуктуирующая величина бывает суммой или наложением флуктуирующих величин независимых друг от друга; так, например, флуктуирующее напряжение между двумя точками электрической схемы часто оказывается просто наложением флуктуирующих напряжений создаваемых различными сопротивлениями Понятно, что эти напряжения не зависят друг от друга. Корреляционную функцию от суммы можно получить простым суммированием корреляционных функций, относящихся к каждой составляющей. Это видно из следующего преобразования:

Вследствие независимости функций имеем (предполагается, что откуда получаем требуемое соотношение

Легко заметить, что это свойство не распространяется на средние значения типа

Мы привели сейчас доводы в пользу применения моментов второго порядка по соображениям простоты, однако имеются и гораздо более глубокие соображения. Моменты второго порядка всегда имеют физический смысл. Это становится очевидным, если учесть, например, что средняя мгновенная мощность, рассеянная флуктуирующим током на сопротивлении равна что средняя энергия, накопленная в момент в катушке с индуктивностью по которой течет ток равна что средняя мощность, переносимая в пустоте плоской электромагнитной волной через

поверхность, перпендикулярную к направлению распространения, пропорциональна моменту 2-го порядка напряжения электрического поля.

Выясним теперь, с учетом сказанного, физический смысл корреляционной функции. Рассмотрим световое излучение при постоянном режиме. Мы представим его с помощью некоторой стационарной случайной функции Рассмотрим интерференцию двух световых излучений. Это означает, что мы каким-то способом получим сумму

где оптическое запаздывание, и изучим ее при различных значениях Вычислим среднюю энергию в точке, где оптическое запаздывание имеет значение В этой точке имеем

или

Мы видим, что средняя энергия представляет собой сумму двух членов. Первый из них это сумма собственных энергий, вызванных каждым из излучений Второй член -это член, характеризующий взаимодействие двух световых излучений. Этот переменный член регулирует изменение средней энергии в зависимости от оптического запаздывания. Следовательно, корреляционная функция дает непосредственно форму интерференционных полос.

Имеется еще одно замечание по поводу изучения моментов второго порядка. Рассмотрим пример из электротехники. Предположим, что ко входу линейного усилителя приложено случайное напряжение Вследствие этого в различных каскадах усилителя возникнут случайные напряжения

Мы покажем, что моменты первого и второго порядков функций можно вывести из соответствующих моментов функции Следовательно, можно рассмотреть моменты первых двух порядков в любой линейной цепи приборов, переходя от одного к другому. При таком рассмотрении никогда не придется вводить моменты порядка выше второго. Получается, таким образом, особое исследование, и можно сказать, что изучение моментов второго порядка является в значительной мере изучением передачи энергии в линейных системах.

Учитывая описанный выше характер свойств, связанных с моментами второго порядка, видим, что целесообразно рассматривать случайные функции, у которых стационарность относится только к моментам первого и второго порядков. Они называются стационарными случайными функциями второго порядка.

Случайная функция является стационарной случайной функцией второго порядка, если она обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание не зависит от (всегда можно предположить, что

2. Математическое ожидание произведения зависит только от разности Это предположение обеспечивает существование корреляционной функции, определяемой равенством

Стационарность второго порядка отличается от стационарности в строгом смысле слова. Действительно, можно привести примеры случайной

функции второго порядка, у которой моменты высших порядков не остаются неизменными при изменении начала отсчета времени. Следовательно, такие функции не стационарны в строгом смысле слова.

Можно легко убедиться, что так же обстоит дело и с функцией

где определенная постоянная, две независимые случайные величины с одинаковым законом распределения и удовлетворяющие условию: Сразу же можем написать

В то же время легко заметить, что существенно зависит от