4.2.22. Матрицы в квантовой механике.

Рассмотрим периодическое движение электрона, положение которого зависит от одной только координаты В классической теории электромагнитного пола мы разлагаем функцию времени в ряд Фурье:

Эта формула выявляет частоты электромагнитных волн которые может излучать электрон. Чтобы учесть сдвиг фаз каждой волны, амплитуду в формуле (39) нужно считать комплексным числом. Так как координата вещественна, то должны быть сопряженными комплексными величинами:

Интенсивность каждой гармоники дается квадратом амплитуды или произведением

В квантовой механике механизм излучения электрона трактуется иначе. Испускание частоты происходит при переходе электрона с одной устойчивой траектории на другую, или, иначе, с одного энергетического уровня на другой энергетический уровень Частота излучения дается соотношением

где постоянная Планка.

Если происходит испускание; если поглощение. Поэтому частоты оказываются здесь зависящими от двух индексов Обозначим их в виде Это означает, что непрерывную функцию которую мы ранее писали в виде разложения в ряд Фурье, мы должны заменить прямоугольной таблицей членов вида

Такая точка зрения, высказанная впервые Гейзенбергом, игнорирует всякие представления о механизме атомных явлений и признает только величины, полученные непосредственно из эксперимента, т. е. интенсивность спектральных линий и их частоту. Эти величины, зависящие от двух индексов, можно разместить в виде прямоугольной таблицы

Табличная форма записи в квантовой механике аналогична разложению в ряд Фурье в максвелловской теории электромагнетизма.

Совершенно очевидно, что, исходя из формулы (42), мы получим

Это означает, что при переходе из состояния в состояние испускается та же частота, что и поглощается при обратном переходе, и что если атом находится в устойчивом стационарном состоянии, он не излучает.

Величина комплексная. Ее модуль является мерой вероятности перехода из состояния в состояние Квадрат модуля определяет интенсивность линии испускания. Так как возможен переход и в обратном направлении, то должно иметь место

Это убеждает нас, что, так же как и в случае ряда Фурье, и а— комплексные сопряженные величины:

Из (45) и (44) мы получаем также

Для умножения двух таблиц введено правило

совпадающее с правилом умножения матриц. Оно дано так, чтобы умножение обеих таблиц не вводило в рассмотрение новых частот. Действительно, рассмотрим общий член каждой таблицы:

Но

Следовательно,

Таким образом, правило умножения не вводит частот, которые не содержались бы раньше в

Легко заметить, что рассмотренные таблицы подчиняются правилам матричного исчисления, а в силу соотношения это эрмитовы матрицы.

Матрица, полученная из матрицы дифференцированием каждого члена по времени, — это новая матрица Гейзенберг принял за отправную точку квантовой механики предположение, что выражение вида коммутатор матриц равно

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV

(см. скан)