1.4.2. Несколько примеров конформных отображений.

Конформные отображения определяются функцией где

Будем, изображать кривые и в плоскости z. Эти кривые соответствуют прямым в плоскости

а) Преобразование вещественны). Имеем откуда

Полная плоскость преобразуется в угол плоскости z. Будем трактовать как потенциальную функцию. Нулевой потенциал получается при двух значениях Рассмотрим наэлектризованный двугранный

угол . В нем существует электрическое поле, силовые и эквипотенциальные линии которого задаются в полярных координатах равенствами:

Плотность электрического заряда в точке на грани, отстоящей от вершины двугранного угла на расстоянии будет равна

б) Преобразование Это частный случай примера а) при Полная плоскость преобразуется в верхнюю полуплоскость плоскости z. Нетрудно найти силовые и эквипотенциальные линии наэлектризованного прямого двугранного угла. Эти линии задаются в декартовых координатах соотношениями

и представляют собой два семейства равносторонних ортогональных гипербол. Они изображены на рис. 1.40 для Плотность электрического заряда в данном случае равна

в) Преобразование Это тоже частный случай примера а), здесь

Рис. 1.40.

Рис. 1.41.

Верхняя полуплоскость плоскости преобразуется в полную плоскость z. Кривые, конформные отображения которых параллельны осям и легко записываются в прямоугольных координатах плоскости

Это семейства софокусных парабол с фокусом О. Они изображены на рис. 1.41 для Таким способом мы получаем силовые и эквипотенциальные линии поля, вызванного наэлектризованным параболическим цилиндром.

Рассмотрим параболу семейства, вырождающуюся в прямую Мы получаем при этом такое же распределение электрического заряда, как в случае заряженной полуплоскости. Плотность заряда определяется равенством

г) Преобразование Это отображение осуществляет аналитическую инверсию, т. е. сводится к выполнению двух последовательных операций — геометрической инверсии относительно круга радиуса симметрии относительно вещественной оси. Легко получить оба ортогональных семейства, конформные отображения которых параллельны осям и Это — окружности, касающиеся осей в начале координат.

Рис. 1.42.

Рис. 1.43.

На рис. 1.42 они изображены при Уравнения этих семейств имеют вид

д) Преобразование. Имеем

Интересующие нас семейства кривых изображены на рис. 1.43. Любые кривые каждого из семейств могут быть совмещены путем параллельного переноса:

e) Преобразование Имеем

Таким образом, получаем ортогональные семейства полупрямых и окружностей с центром в начале координат (рис. 1.44 для Это отображение дает силовые и эквипотенциальные поля, вызванные наэлектризованной поверхностью прямого круглого цилиндра, в частности, вокруг наэлектризованной прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис. 1.44.

Рис. 1.44.

Та же картина силовых линий и линий уровня возникнет между двумя концентрическими прямыми цилиндрами с круглыми основаниями, обладающими разными потенциалами. Рассмотрим последний случай.

Пусть X — потенциальная функция, соответствующие потенциалы цилиндров с радиусами Имеем При полном повороте вокруг оси приращение функции равно Следовательно, единичный заряд будёт равен Отсюда емкость С на единицу длины конденсатора, образованного двумя концентрическими цилиндрами, равна

ж) Преобразование Приравнивая в обеих частях равенства модули и аргументы, получаем

Это — уравнения двух ортогональных семейств окружностей (рис. 1.45). Окружности семейства (б) проходят через точки с абсциссами к которым сводятся окружности семейства (а) при

Рис. 1.45.

Для одной и той же окружности семейства (б) при переходе от верхней дуги к нижней дуге значения параметра отличаются друг от друга на

Из этого следует, что если уравнение отрезка будет то уравнение оси абсцисс, из которой вырезан этот отрезок, будет Точно так же окружностям семейства находящимся справа от оси соответствуют отрицательные значения X, находящимся слева — положительные. Легко заметить, что для верхней дуги окружности для нижней дуги окружности

Пусть X — потенциальная функция. В этом случае предыдущие равенства дают силовые эквипотенциальные линии поля, вызванного двумя наэлектризованными поверхностями прямых цилиндров с круглым основанием, оси которых параллельны друг другу и находятся на расстоянии . Положим, что радиусы цилиндров равны Вычислим емкость С на единицу длины конденсатора, образованного обеими поверхностями. Пусть X — потенциал левого цилиндра, потенциал правого, разность потенциалов соответственно равна IX. Имеем

значит,

При обходе вокруг цилиндра У изменяется на величину Следовательно, единичный заряд

Замечание. Если проводящий цилиндр сводится к прямолинейному проводу пренебрежимо малого диаметра, то предыдущие равенства дают

электрическое поле, вызванное двумя параллельными проводами, отстоящими друг от друга на расстоянии или проводом, отстоящим на расстоянии от параллельной ему бесконечной проводящей плоскости

з) Преобразование Из этого равенства, придавая постоянное значение либо X, либо V, получаем семейства кривых записанных в параметрической форме. Мы легко можем определить эквипотенциальные линии и силовые линии Х(х, у) электростатического поля между двумя бесконечными полуплоскостями с потенциалами (рис. 1.46) и вблизи их границы.

Рис. 1.46.

Замечание. Все конформные отображения представляют кривые и как образы прямых . В примерах, рассмотренных выше, отображения выбирались нами априорил Затем мы находили соответствующую им картину силовых и эквипотенциальных линий. Однако, как уже отмечалось выше, чаще приходится решать обратную 1 задачу: задана кривая найти функцию отображающую эту кривую на ось . К сожалению, эта задача обычно бывает неразрешима, кроме следующих двух основных случаев.

1. Кривая может быть выражена в параметрической форме:

Тогда искомое преобразование имеет вид

где вещественная постоянная.

Действительно, приравняем тогда

Эти равенства и являются параметрическими уравнениями данной кривой.

Найдем отображение, преобразующее, например, ось в эллипс Имеем Как легко заметить, искомое преобразование будет

2. Кривая задает замкнутый многоугольник. В этом случае задача решается отображением Шварца