Функции Кельвина
7.5.31. Функции Кельвина нулевого порядка.
В некоторых задачах требуется найти общий интеграл дифференциального уравнения
Если принять 
мы снова придем к дифференциальному уравнению (13), в котором 
заменено на 
Следовательно, общее решение уравнения (81) будет
Параметр 
равен 
Возьмем положительный знак. Тогда общее, решение получит вид
Модули обеих функций 
бесконечно возрастают при бесконечно возрастающем z. Это обстоятельство затрудняет нахождение частного решения конкретных задач, в которых решение должно быть конечно на бесконечности.
Рис. 7.23. (см. скан)
Рис. 7.24. (см. скан)
Чтобы избежать этого, мы возьмем в качестве второго решения функцию 
Покажем, что она является решением
уравнения (81). Действительно, заменив в формуле 
на 
получим
Функция 
представляет собой решение уравнения (81).
Очевидно, что решением будет и 
Общее решение (81) теперь можно представить в виде
Если положить 
то общее решение уравнения
будет
Разложение в ряд для функции 
имеет вид
Отделив вещественную и мнимую части, получим.
Функции 
Бесселя вещественные) и 
Бесселя мнимые) представляют собой так называемые функции Кельвина, связанные с функцией 
Легко показать, что
Аналогично определяются функции Кельвина 
связанные 
вторым решением 
Имеют место следующие разложения в ряды этих функций:
