9.1.14. Теорема Бернулли.

Пусть дано сколь угодно малое число Вероятность того, что разность между частотой появления события и вероятностью этого события окажется меньше , стремится к единице, когда число опытов бесконечно возрастает. Иначе говоря, когда бесконечно возрастает, частоты осуществлений события А и противоположного события В неограниченно приближаются к вероятностям ряд.

Высказанное выше предложение называется законом больших чисел. Пусть сколь угодно малое положительное число. Покажем, что вероятность выполнения неравенства

при бесконечно возрастающем стремится к единице. Другими словами, частота появления события А стремится к вероятности

Неравенство (34) можно написать в виде

Если положить

то вероятность того, что неравенство (34) будет удовлетворяться, стремится к при условии, что бесконечно возрастает, т. е. к

При любом заданном можно всегда выбрать и достаточно большим, чтобы эта величина была сколь угодно близка к единице. Следовательно, вероятность того, что стремится к при бесконечно возрастающем стремится к единице. Возьмем например, Из таблиц функции находим, что если то вероятность того, что отличается от меньше, чем на больше, чем