10.6.5. Сокращенный вариант.

Если можно довольствоваться исходной базой, состоящей из значений (точно известного), то бывает удобно пользоваться следующим способом.

Пренебрегая четвертой разностью, можно установить исключительно простую формулу. Интегрируем (96) от до

Заменяем интерполяционным полиномом Ньютона по нисходящим разностям, ограниченным третьей разностью. После интегрирования получаем

Заменив Их выражениями, находим

Первый отброшенный член равен

Как только вычислено, нетрудно вычислить и снова получить значение с помощью следующей формулы, выведенной из формулы Симпсона:

Мы пренебрегаем при этом членом порядка

Необходимо, очевидно, прежде чем начать вычисление шаг за шагом, иметь исходную базу, образованную значениями (точно известными), (вычисленными). Ее легко найти с помощью ряда Тейлора.

Разность значений полученных из формул (102) и (103), равна примерно

Она приблизительно в 30 раз больше, чем поправка, которую требуется внести в результат, полученный в формуле (103). Таким образом, если одна тридцатая этой разности меньше искомой точности в вычислениях, мы можем пренебречь погрешностью формулы (103).

Если эта разность очень велика, то выгодно уменьшить вдвое интервал Если же она пренебрежимо мала, то мы удвоим интервал, что значительно сократит вычисления.

Пример. Требуется для получить численное решение уравнения

при начальных условиях Результат требуется найти с точностью до пятой значащей цифры.

Исходную базу легко получаем с помощью ряда Тейлора:

Для имеем

Отсюда

Формула Симпсона дает

откуда

Уточнять значение больше не нужно.

Вычисление у на следующем интервале следует производить при