8.2.2. Вычисление переходной реакции.

Рассмотрим в цепи два контура и . Мы видели (п. 1.2.8), что если приложить напряжение в контуре то установившийся ток, идущий в контуре будет равен

Приложим напряжение в том же контуре вещественное или комплексное число, причем Тогда ток установившегося режима, текущий в контуре будет равен

Выражение представляет собой обобщенное взаимное сопротивление контуров

симметричный определитель:

алгебраическое дополнение элемента

Элементы это собственные и взаимные обобщенные сопротивления контуров. Имеем

Символы были определены в п. 1.2.8. Рассмотрим формулу (7). Если положить

получаем

Функция имеет ту же форму, что и воздействие Это очевидно, поскольку речь идет об установившемся токе. В соответствии с выражением "переходная реакция" назовем "изоморфной реакцией". Коэффициент который можно было бы назвать обобщенной переходной проводимостью, будет называться здесь коэффициентом изоморфной реакции.

Если требуется записать общий ток идущий в контуре при внезапном включении электродвижущей силы в контуре нужно прибавить к установившемуся току свободный ток

Мы знаем также другое выражение для тока оно дается формулой (5), где Тогда

Приравняем выражения (8) и (9):

Если устремить к бесконечности, то

Мы видим, что переходная реакция, знать которую необходимо и достаточно для определения тока, соответствующего приложенной электродвижущей силе любого вида, связана с величиной, обратной обобщенному полному сопротивлению, или с коэффициентом изоморфной реакции интегральным уравнением. Эта формула соответствия между функцией и функцией называется "интегральным уравнением Карсона". Такое функциональное соотношение позволяет, зная коэффициент изоморфной реакции (его можно получить простым вычислением), узнать переходную реакцию, а следовательно, и реакцию на совершенно произвольное воздействие. Поэтому интегральное уравнение Карсона — это мостик, позволяющий перейти от установившихся токов к переходным.

Изучение пар функций связанных соотношением

является целью операционного исчисления. Для того чтобы коротко выразить, что связаны таким соотношением, принято пользоваться особым значком, соединяющим эти функции. Так как функции, образующие пару, не равноправны, то значок не симметричен. Например,

В интересующем нас случае мы видим, что, вычислив уже

описанным способом, можно получить из соотношения

Дальнейшее рассуждение позволит осуществить это вычисление. Тогда легко будет вычислить и ток.

Ток, идущий в контуре при включении в контур I электродвижущей силы в момент равен

Только теперь становится существенной форма электродвижущей силы. Дальше мы увидим, что если

т. е. если функция, выраженная интегралом

и, как мы уже имеем,

то соотношение

можно заменить на

Здесь мы снова встречаем зйкон Ома, но уже в операционной форме. Это обобщение закона Ома для установившихся синусоидальных режимов:

которое само являлось обобщением классического закона постоянных токов