Распространение электрических возмущений вдоль линий передач

8.4.10. Общие соображения.

Дана однородная электрическая линия передач длиной На одном конце приложена электродвижущая сила Другой конец замкнут на обобщенное сопротивление Обозначим через соответственнно коэффициент самоиндукции, емкость и сопротивление единицы длины этой линии. Изоляция линии несовершенна, поэтому через обозначим величину, обратную сопротивлению изоляции на единицу длины (проводимость изоляции).

Рис. 8.56.

Рассмотрим точку с абсциссой х (начало координат совмещено с началом линии) и обозначим через разность потенциалов между этой точкой и землей, а через ток, идущий в этой точке (рис. 8.56).

Изменение напряжения при перемещении на единицу длины равно сумме изменения напряжения — создаваемого самоиндукцией, и омического падения напряжения Отсюда

Изменение тока при перемещении на единицу длины равно сумме тока утечки через емкость и тока утечки через изоляцию — Отсюда

Функции следовало бы писать в виде а электродвижущую силу, приложенную к началу, в виде Для упрощения записи переменные подразумеваются.

Если исключить функцию из уравнений (96) и (97), получаем уравнение в частных производных, определяющее функцию Е:

Оно называется телеграфным уравнением.

Пусть такие функции, что

Эти две новые функции их определяются следующей системой уравнений, полученной из уравнений (96) и (97) с помощью преобразования Лапласа:

Эта система уравнений приводит к

или

если считать, что

Решение уравнения (101) получается сразу. Имеем

Тогда уравнение (99) дает

Постоянные определяются граничными условиями. Если считать

тр при имеем

а при имеем

Отсюда

Если считать

то для определения А к В имеем два уравнения:

Отсюда

или

В этой формуле

и

Функция равна

Дальнейшее вычисление состоит в нахождении таких функций чтобы

Эта задача представляет в общем случае незначительный интерес, так как приводит к крайне сложным расчетам. Перед тем как рассмотреть несколько простых частных случаев, сделаем замечание общего порядка.

Положим, что в наиболее общем случае мы нашли напряжение и ток в любой точке линии передачи, приложив к началу линии электродвижущую силу, равную единичной ступени. Пусть

— токи и напряжения при Положим теперь, что в начале линии приложена любая электродвижущая сила

Мы можем написать формулы (109) и (110) в упрощенном виде

В случае электродвижущей силы, равной единичной ступени, имеем

Отсюда

Применяя теорему свертывания и формулу дифференцирования, получаем.

или, дифференцируя,

Как и следовало ожидать, мы снова находим формулы, полученные непосредственно из соотношений (1), (6).