4.1.35. Функции от матриц. Теорема Сильвестра.

Пусть многочлен степени и пусть различных произвольных постоянных. Следующее тождество называется интерполяционной формулой Лагранжа (см. п. 10.3.2):

Символ означает произведение одночленов для всех значений кроме

Определение степени матрицы дает возможность определить многочлен от матрицы. Заменив в предыдущем тождестве х на матрицу а, получаем новое тождество

Теорема Кэли — Гамильтона позволяет показать, что матричный многочлен от а степени может быть выражен при помощи матричного многочлена степени Действительно, пусть характеристическое уравнение. Тогда, поскольку имеем

Последовательные умножения на X и а этих соотношений показывают, что степени могут быть выражены соответственно как функции Таким образом, если многочлен степени большей или равной то

где некоторый многочлен степени Применим к многочлену тождество Лагранжа. Предположив, что все собственные значения различны, мы можем, в силу предыдущих соотношений, написать следующую формулу, выражающую теорему Сильвестра:

при

Пусть функция, разложимая в степенной ряд, сходящийся при Обозначим этот ряд через Тогда формула (12) показывает, что ряд сходится в том случае, если все ряды сходятся. Это позволяет применять теорему Сильвестра не только к многочлену, но также и к функции, разложимой в степенной ряд.

Замечание. Легко показать, что матрица имеет следующие свойства:

она вырождена и ранга 1;

откуда

По формуле (12) при имеем

Точно так же применение формулы (12) к дает

Пример. Применим формулу (12) к вычислению матричного многочлена

где матрица а равна

Собственные значения матрицы а были вычислены ранее (см. п. 4.1.28):

Отсюда

Таким образом,

Такой же расчет для дает

откуда

Прямое вычисление, гораздо более легкое в данном случае из-за простоты функции дает тот же результат: