Законы распределения случайных величин

9.1.5. Дискретные случайные величины.

Пусть имеется некоторая группа событий

вероятности осуществления которых равны соответственно

Условия опыта таковы, что в каждом опыте осуществляется одно и только одно событие (т. е. мы имеем полную группу несовместных событий). Поэтому

Рассмотрим переменную х, которая может принимать значения

в зависимости от происходящего события. Такая величина называется дискретной (прерывной) случайной величиной. Совокупность значений случайной величины вместе с их вероятностями определяет ее закон распределения.

Выражение

называется математическим ожиданием случайной величины х. Таким образом, математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Разность между значением случайной величины х и ее матемадаческим ожиданием х обозначается через 8 и называется отклонением (или центрированной случайной величиной):

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Средним арифметическим отклонением называется математическое ожидание абсолютных значений случайной величины 8:

Дисперсией случайной величины х называется величина определяемая формулой

а величина о, представляющая собой квадратный корень из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением или стандартом случайной величины х. Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание, разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания.

Легко заметить, что для величин и справедливо следующее неравенство:

Если - функция случайной величины х, определенная для всех значений то математическое ожидание этой функции относительно рассматриваемого закона распределения случайной величины х определится формулой

Дисперсия функции будет равна

Величина определяемая формулой

называется начальным моментом порядка случайной величины х. Если математическое значение случайной величины х равно нулю, то величина

называется центральным моментом порядка случайной величины при этом

Можно предложить следующую механическую интерпретацию закона распределения, которая поясняет введение термина момент.

Рассмотрим ось х с началом в точке О и поместим в точках с абсциссами массы, равные (распределение общей массы, равной единице).

Начальный момент первого порядка — математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести этих масс или статический момент этих масс относительно точки О. Если перенести начало отсчета в эту точку, то . В этом случае величина -центральный момент второго порядка, или, что то же самое, дисперсия случайной величины представляет собой момент инерции масс относительно математического ожидания случайной величины х.