5.1.10. Антисимметричный тензор второй валентности в трехмерном пространстве.

Такой тензор, если он дважды контравариантен, можно записать в виде

Примем какой-либо порядок индексов, например 123 для левой системы координат и 132 для правой. Положим

где если получается из 123 четной перестановкой, и в противном случае. Тогда тензор примет вид

Формулы преобразования координат будут следующие:

Записывая сумму подробно и располагая слагаемые по порядку, получим

Это псевдовектор типа емкости.

Точно так же, взяв тензор дважды ковариантный

получим

Это псевдовектор типа плотности.

Рассмотрим прямоугольную систему координат, расположенную в метрическом трехмерном пространстве (покинем временно аффинное векторное пространство). В этом случае

следовательно,

но

поэтому

Рассмотрим теперь наш тензор. Он дважды ковариантен или контравариантен (что одно и то же в прямоугольной системе координат) и может быть определен тремя существенными, отличными от нуля компонентами,

Его можно рассматривать как вектор во всех случаях, за исключением того, когда при преобразовании координат совершается переход от левой системы координат к правой или наоборот. В этом случае вследствие того, что вектор меняет знак. Такой вектор в векторном исчислении называют скользящим вектором. Это позволяет понять глубокое различие между скользящим и свободным вектором.