5.1.10. Антисимметричный тензор второй валентности в трехмерном пространстве.
Такой тензор, если он дважды контравариантен, можно записать в виде
Примем какой-либо порядок индексов, например 123 для левой системы координат и 132 для правой. Положим
где
если
получается из 123 четной перестановкой, и
в противном случае. Тогда тензор примет вид
Формулы преобразования координат будут следующие:
Записывая сумму подробно и располагая слагаемые по порядку, получим
Это псевдовектор типа емкости.
Точно так же, взяв тензор дважды ковариантный
получим
Это псевдовектор типа плотности.
Рассмотрим прямоугольную систему координат, расположенную в метрическом трехмерном пространстве (покинем временно аффинное векторное пространство). В этом случае
следовательно,
но
поэтому
Рассмотрим теперь наш тензор. Он дважды ковариантен или контравариантен (что одно и то же в прямоугольной системе координат) и может быть определен тремя существенными, отличными от нуля компонентами,
Его можно рассматривать как вектор во всех случаях, за исключением того, когда при преобразовании координат совершается переход от левой системы координат к правой или наоборот. В этом случае вследствие того, что
вектор меняет знак. Такой вектор в векторном исчислении называют скользящим вектором. Это позволяет понять глубокое различие между скользящим и свободным вектором.