1.3.20. Теорема о числе полюсов и числе нулей.

Пусть функция голоморфна внутри замкнутбго контура исключением конечного числа полюсов, непрерывна и не обращается в нуль на С. Обозначим через соответственно количество нулей и полюсов внутри контура С, причем каждый нуль и каждый полюс считается столько раз, какова его кратность. Тогда произведение разности на равно интегралу от логарифмической производной по контуру С при обходе его в положительном направлении.

Действительно, пусть а — нуль порядка . В окрестности точки а имеем

далее,

Если С - малый контур, окружающий точку а, то

Точно так же, если полюс порядка то в окрестности точки имеем

Функция голоморфна в окрестности Поэтому вблизи можно написать

Если малый контур, окружающий то

Из доказанного следует, что для функции имеющей в области, ограниченной контуром С, нули порядков и полюса порядков справедливо соотношение

т. е.

Теорема доказана.

Рассмотрим преобразование

Если точка z описывает контур С в плоскости то точка описывает контур в плоскости Имеем

Этот интеграл равен числу оборотов, которые описывает кривая вокруг начала координат. По доказанному,