6.3.12. Уравнение Пуассона.
Это дифференциальное уравнение вида
Оно совпадает с формулой Пуассона (см. п. 3.3.10)
если предположить, что электрические заряды распределены с плотностью 
Поэтому решение уравнения Пуассона естественно искать в виде скалярного потенциала непрерывной системы электрических зарядов. Докажем, что действительно выражение
дает частное решение уравнения Пуассона. Здесь х, 
текущие координаты точки, 
координаты точки наблюдения, 
элемент объема области 
Согласно формуле Грина (см. п. 3.3.8)
поскольку
Поверхность с состоит из внутренней стороны поверхности 
ограничивающей сферическую полость с центром 
и внешней стороны поверхности 
ограничивающей область 
(рис. 6.2).
Рис. 6.2.
Будем предполагать, что 
вместе со своими частными производными ограничена внутри 
и на 
Устремим к нулю радиус 
сферической полости. 
Тогда 
тоже стремится к нулю, а пределом второго интеграла по поверхности 
будет 
Пусть теперь 
решение уравнения Пуассона, т. е. 
. В силу (66) получаем
Правая часть этого выражения представляет собой вклад в функцию 
интеграла по внешней поверхности области 
Отметим, что эта часть, с
точностью до множителя 
дает решение уравнения Лапласа
которому соответствует 
Предположим, что в любой конечной области функция 
и ее частные производные ограничены и при стремлении 
к бесконечности 
имеет порядок 
а ее производные — 
Будем называть такие функции 
правильными. Для правильной функции выражение в квадратных скобках имеет порядок 
(при больших 
), и при 
интеграл справа стремится к нулю. Следовательно, выражение
где интеграл распространен на все пространство, представляет собой решение уравнения Пуассона.
Полагая в этой формуле 
вне области 
убедимся, что 
из 
является частным решением уравнения Пуассона внутри 
Обозначим через 
общее решение уравнения Пуассона и положим 
Тогда 
т. е. 
общее решение уравнения Лапласа.
Итак, общий интеграл уравнения Пуассона дается формулой
где 
частный интеграл уравнения Пуассона 
общий интеграл уравнения Лапласа.
Отметим, что правильное решение уравнения Пуассона во всем пространстве единственно, оно дается формулой 
Это следует из теоремы Лиувилля: гармоническая во всем пространстве функция, исчезающая на бесконечности, тождественно равна нулю.
Замечание. Уравнение Пуассона играет основную роль не только в электростатике. Оно, наряду с уравнениями динамики, описывает законы электронной оптики.
