6.3.13. Решение уравнений Максвелла методом Бромвича.

Если выразить электрическое и магнитное поле в рационализированной системе то уравнения Максвелла для среды с диэлектрической постоянной и магнитной проницаемостью получают вид:

Запишем эти уравнения в ортогональной системе координат, квадрат элемента длины в которой равен

Получаем

Можно доказать, что общее решение системы (67) получается наложением двух частных решений этой системы. Первое решение соответствует предположению Это поперечная магнитная волна. Ее называют также электрической волной или волной Второе решение соответствует предположению Это поперечная электрическая волна. Ее называют также магнитной волной или волной

Отметим, что излагаемый метод применим только к таким системам ортогональных криволинейных координат, для которых локальная единица длины является функцией только одной координаты а отношение остальных локальных единиц длины не зависит от координаты

Не уменьшая общности, мы можем считать, что противном случае можно ввести новую переменную с помощью соотношения Итак, предполагаем, что локальные единицы длины рассматриваемой системы координат удовлетворяют соотношениям

Поперечная магнитная волна, или волна Если приравнять нулю, то первое уравнение (67) принимает вид

Отсюда следует, что

где произвольная функция.

Так как локальные единицы длины не зависят от времени, то из пятого и шестого уравнений (67), в силу (70) и (71), следует

Согласно допущениям (68) эти уравнения можно переписать в виде

Положим Отметим, что функцию часто называют потенциалом электрических колебаний. С помощью уравнения (74; и (75) можно записать так:

Из уравнений (70), (71), (76), (77) получаем выражения для через потенциал

Подставим выражения (79) и (80) во второе или выражения (78) и (81) в третье уравнение (67). Тогда

Точно так же, если подставить выражения (79) и (81) в четвертое уравнение (67), получаем

Приравняв правые части выражений (82) и (83), находим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция

Если общее решение уравнения (84), то выражения составляющих электромагнитного поля для магнитной поперечной волны [волны (?)] будут

Поперечная электрическая волна, или волна Повторяя предыдущие рассуждения в предположении получим следующие выражения

для составляющих электромагнитного поля волны (И):

где потенциал определяется из того же самого уравнения (84).

Случай синусоидальной зависимости., от времени. Будем считать (а это почти всегда имеет место), что электромагнитное поле является синусоидальной функцией времени. Так как уравнения Максвелла (67) линейны, то в этом случае следует заменить в них символ на Нетрудно убедиться, что тогда также должна быть синусоидальной функцией времени вида

где обозначает скорость электромагнитной волны в среде, причем

Новая функция зависящая только от пространственных координат, определяется уравнением

Согласно (85) и (86) в рассматриваемом случае имеем (множитель при записи опускаем):

Замечание. Сравним уравнение Бромвича (87) с уравнением (34), в котором Легко заметить, что эти уравнения отличаются только первым членом: в уравнении (87) он равен а в уравнении (34) — Таким образом, все вычисления, проделанные при решении уравнения (34), могут быть перенесены на соответствующее уравнение Бромвича, При этом выкладки будут мало отличаться друг от друга и в случае уравнения Бромвича (более простого по форме) приведут к менее сложным функциям. Разумеется, эти соображения могут быть использованы только для тех систем координат, в которых соблюдены условия (68). К числу таких систем относятся: цилиндрические, параболические цилиндрические, эллиптические цилиндрические, бицилиндрические и сферические. Отметим, впрочем, что уравнение (84) будет особо рассмотрено в случае цилиндрической и сферической систем координат.