10.8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

10.8.1. Плоские задачи.

Мы ограничимся здесь уравнениями в частных производных второго порядка вида

Задача состоит в том, чтобы отыскать функцию, удовлетворяющую уравнению (105) и совпадающую на данном контуре с данной функцией . Искомую функцию мы определим ее значениями в узлах прямоугольной сетки. Предварительно мы решим две простые задачи.

1. Рассматриваются четыре точки середины сторон прямоугольника и точка центр прямоугольника (рис. 10.17). Попробуем найти приближенные формулы, дающие первые и вторые частные производные функции в точке как функции значений в точках

Рис. 10.17.

Рис. 10.18.

Разлагаем функцию в ряд Тейлора вблизи точки

Пишем этот ряд, ограничиваясь членами второго порядка, в точках Нетрудно получить

2. Поставим ту же задачу, но при этом пусть точка I не будет больше в центре прямоугольника. Положение ее определяется отношениями расстояний до сторон прямоугольника (рис. 10.18). Предыдущее разложение.

примененное к точкам дает

После того как обе эти задачи решены, можно взяться за основную задачу. Разложим область внутри заданного контура на некоторое число прямоугольников. В уравнении (105) следует заменить частные производные приближенными формулами (108) или (107). Мы получим таким образом уравнения, которые дают возможность вычислить значения в точках внутри контура как функцию значений на контуре, данных из условий задачи.

Формула (107) применяется главным образом в центральной части зоны, ограниченной контуром, там, где узлы прямоугольной сетки являются равноотстоящими. Формула (108) применяется в основном в периферической части этой зоны, если близость границы вносит неправильность в положение узловых точек прямоугольной сетки (рис. 10.19).

Рис. 10.19.

Рис. 10.20.

Пример. Рассмотрим очень простой пример. Требуется найти функцию принимающую соответственно значения и —1 на двух прямых углах, определяемых точками и 12, 18, 24, 30, 29, 28, 27, 26, и удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри прямоугольника (рис. 10.20). Сетка образована квадратами Если перенести в уравнение Лапласа значения из то получим

Применим это выражение к 12 точкам внутри прямоугольника. Тогда

Но

Предыдущая система принимает вид

Можно попытаться прямо решить эту систему из 12 уравнений с 12 неизвестными, Однако для более сложных систем, где внутренние точки насчитываются сотнями, надо решительно отказаться от этого способа и применять следующий способ последовательных приближений

Мы будем обозначать первое, второе, приближение в точке а через Значения, взятые в качестве начальных для внутренних точек, могут быть любыми, но удобнее выбирать значения, не слишком отличающиеся отрезультатов вычислений. Простое рассмотрение рисунка подсказывает нам выбор в качестве начальных значений:

Перенеся эти значения в предыдущие уравнения, получим первые приближения:

Затем получаем вторые приближения:

и т. д. Продолжив вычисления до пятого приближения, получим таблицу:

(см. скан)

10.8.2. Задачи вращения.

В предыдущем пункте речь шла об отыскании как функции декартовых координат х, у. Здесь стоит та же задача для цилиндрических координат Однако имеются некоторые отличия, которые будут изложены ниже.

Рассмотрим разложение в ряд (106), ограниченное членами второго порядка, и заменим х на а у на Мы получим следующие группы формул, тождественные по виду с уравнениями (107) и

1. Точка центр прямоугольника (рис. 10.21):

Рис. 10.21.

Рис. 10.22.

2. Точка не центр прямоугольника (рис. 10.22):

Разумеется, уравнения в частных производных должны быть приспособлены к системе цилиндрических координат. Например, уравнение Лапласа будет записано в виде

Рис. 10.23.

Основное различие с плоской задачей заключается здесь в наличии прямой — оси вращения, играющей привилегированную роль. Значения в двух точках, симметричных относительно этой оси, будут, очевидно, равны. Формулы, соответствующие частным производным в точках этой оси, будут выражены особыми формулами в силу этой симметрии и условия

Пусть о будет точкой на оси вращения (рис. 10.23), Производная равна нулю, но величина конечна. Имеем

Первый член справа равен нулю, откуда

Так как в силу симметрии, то

Вторая производная по z в точке на оси всегда выражается третьим равенством (110). Например, для точки, находящейся от оси на расстоянии и для квадратной сетки уравнение Лапласа будет

а для точки на оси