1.3.5. Криволинейный интеграл от функции комплексной переменной.

Пусть функция комплексной переменной z, С — непрерывная кривая, аффиксы концов этой кривой. Разделим кривую на произвольное число частей с помощью промежуточных точек (рис. 1.20).

Рис. 1.20.

Пусть точка, находящаяся между . Отрезок, началом которого является а концом обозначим через

Рассмотрим сумму

Устремим к бесконечности при условии, что наибольшее стремится к нулю. Если при этом сумма имеет предел, не зависящий от выбора промежуточных точек, то этот предел называется криволинейным интегралом функции вдоль кривой С. Он обозначается так:

Величина этого интеграла зависит не только от но и от формы кривой С.

Предположим, что длина кривой С конечна и равна и что на этой кривой модуль не превосходит постоянной Тогда справедлива оценка

В самом деле,

но

что и доказывает оценку.

Если разложить на их вещественную и мнимую части

то получим

Как указано выше, интеграл, определенный таким образом, зависит не только от положения концов кривой С, но и, вообще говоря, от формы этой кривой.