1.4.4. Отображение Шварца.

Рассмотрим функцию где А — вещественное число, число, меньшее единицы.

Введем функцию z, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

Предположим, что точка пробегает ось плоскости Найдем кривую, которую описывает соответствующая точка плоскости z. Если точка X расположена, левее точки А, то аргумент отрицательного числа равен Если точка X правее точки А, то аргумент положительного числа равен нулю. Следовательно, аргумент числа будет скачкообразно изменяться на когда X пробегает прямую

Рис. 1.47.

Рис. 1.48.

Точка z при этом опишет две полупрямых, образующих между собой такой же угол в плоскости z, ибо

соответственно внутренний угол между этими прямыми равен (рис. 1.48). Ясно, что точке А в рассматриваемом отображении соответствует точка а. Рассмотрим теперь замкнутый многоугольник с внутренними углами

Из рассуждений, приведенных выше, вытекает, что с помощью преобразования

осуществляется отображение оси на многоугольник плоскости z с углами при вершинах, равными

Величины соответствующие различным вершинам многоугольника, подлежат, определению. В силу замкнутости многоугольника значения связаны между собой равенством

или

Рассмотрим точку перемещающуюся по вещественной оси плоскости от до Согласно (16) можно принять, что для этих аргумент величины

равен нулю. Тогда точка z будет перемещаться по вещественной оси плоскости z от точки соответствующей Положение точки зависит от постоянной интегрирования уравнения

Пусть точкам вещественной оси плоскости (рис. 1.49) соответствуют точки плоскости z, являющиеся вершинами рассматриваемого многоугольника, а точка X продолжает перемещаться вдоль вещественной оси плоскости При переходе точки X через А аргумент правой части выписанного выше дифференциального уравнения изменяется на

Соответственно этому при переходе через аргумент z, равный до этого нулю, также получает приращение в точка переходит с вещественной оси плоскости z на прямую, образующую с этой осью внутренний угол рис. 1.48).

Рис. 1.49.

Совершенно аналогично при переходе точки X через аргумент z получает приращение и точка z переходит в на новую прямую, образующую с прежней угол

Следовательно, точка z описывает ломаную линию с углами при вершинах измеряемыми в полуокружностях. Эта ломаная линия образует замкнутый многоугольник. Действительно, когда точка X пробегает отрезок от точки до со, точка z описывает прямую, образующую с положительным направлением вещественной оси угол т. е. крайние стороны ломаной линии параллельны вещественной оси. Отметим, далее, что вершины и расположены на вещественной оси плоскости z.

Остается определить числа так, чтобы они действительно являлись образами вершин заданного многоугольника. Это обстоятельство составляет главную трудность при практическом использовании отображения Шварца. Доказывается, что можно произвольно, выбрать образы трех вершин многоугольника (т. е. три числа из а остальные числа определяются единственным образом. Рассмотрим способ их отыскания. Пусть задан многоугольник с вершинами Через вершины и проводим вещественную ось плоскости z. Пусть углы при вершинах многоугольника -кап. Тогда искомое преобразование имеет вид

Число и три числа из выбираются произвольно. Число числа из следует выбрать таким образом, чтобы стороны получаемого многоугольника были равны сторонам данного многоугольника; числа А определяются через интегралы. Трудность вычислений быстро возрастает вместе с числом сторон. Однако в физике отображение Шварца очень редко применяется к многоугольникам с числом сторон, большим 4.

Легко заметить, преобразование Шварца отображает верхнюю полуплоскость на внутренность многоугольника плоскости z, тогда как нижняя полуплоскость соответствует внешности многоугольника плоскости z.

Пример 1. Найти отображение треугольника, расположенного в плоскости z, на вещественную ось плоскости Если углы треугольника равны функция, осуществляющая требуемое отображение, имеет вид

где

Если пробегает вещественную ось от до А, то точка z описывает вещественную ось от точки с абсциссой соответствующей до точки с абсциссой а, соответствующей (рис. 1.50), — это имеет место, если выбрать ту ветвь определяемую формулой (17), для которой аргумент при — равен нулю.

Рис. 1.50.

Возможность такого выбора обеспечивается равенством (18). Имеем

При переходе точки X через А соответствующая ей точка плоскости z переходит с вещественной оси на прямую, составляющую с этой осью Угол По новой прямой точка z движется до точки которая соответствует точке вещественной оси плоскости причем

При переходе точки X через В соответствующая ей точка плоскости z снова переходит на другую прямую, составляющую с предыдущей угол — По новой прямой точка доходит до точки с, которая соответствует точке вещественной оси плоскости причем

Наконец, при переходе X через точку С соответствующая прямая в плоскости z поворачивается на угол —к и при точка z стремится к начальной точке оставаясь на этой прямой. Имеем

В силу соотношения (18) отрезки и та являются продолжением один другого.

Таким образом, каковы бы ни были числа функция (17) определяет отображение, которое преобразует треугольник, подобный данному, в вещественную ось Для перехода к заданному треугольнику достаточно

в интеграле (17) ввести постоянный множитель, учитывающий отношение сходственных сторон треугольника.

Многоугольник, рассматриваемый в отображении Шварца, всегда может быть построен по заданным условиям; он может иметь вершины в бесконечности.

Пример 2. Рассмотрим две параллельные прямые, одна из которых разорвана (рис. 1.51). Эту фигуру можно считать многоугольником. Вершина а находится в бесконечности, сторона сливается со стороной

Рис. 1.51.

Вершины находятся в бесконечности. Сторона сливается со стороной и многоугольник замыкается прямой на бесконечности. Величины углов обозначены на рисунке.

Следовательно, функция, определяющая преобразование, имеет вид

Из четырех вещественных чисел три можно выбрать произвольно. Учитывая, что можно положить Тогда

Определим постоянную так, чтобы начало координат плоскости z отображалось в начало координат плоскости Имеем

т. е. искомое отображение принимает вид

Отделяя вещественные и мнимые части, найдем соотношение

из него непосредственно получаются параметрические уравнения кривых, отображениями которых служат прямые параллельные осям координат плоскости Покажем, что при перемещении точки по оси точка z описывает рассматриваемую фигуру в плоскости z. Если X находится вне интервала то

Если X находится внутри интервала то под знаком логарифма стоит отрицательное число, аргумент которого равен и соответственно находим

Используя полученные формулы, заполним таблицу, описывающую изменения на плоскости z при пробегании X вдоль вещественной оси плоскости (рис. 1.52):

(см. скан)

Для полного совпадения полученной и заданной фигур достаточно, чтобы отношение

для обеих фигур было бы равным. Из этого равенства определяется число

Только что описанное отображение позволяет решать задачи плоского поля, в которых фигурируют две параллельные плоскости, причем одна из них рассечена бесконечной трещиной.

Рис. 1.52,

Найдем, например, силовые и эквипотенциальные линии электростатического поля, возбужденного бесконечной плоскостью и двумя полуплоскостями, имеющими потенциал Эквипотенциальные и силовые линии являются соответственно отображениями прямых и Отметим, что такие же линии возникают в электростатическом поле, созданном бесконечной плоскостью, пересекающей плоскость по прямой

Рассмотрим ту же задачу для случая, когда на бесконечной плоскости и на двух полуплоскостях созданы разные потенциалы. Эта задача сведется к задаче для полосы шириной в в плоскости окаймленной двумя бесконечными полуплоскостями, причем полоса и полуплоскости обладают разными потенциалами. Легко заметить, что решение задачи дается с помощью отображения ж) п. 1.4.2. Действительно, при рассмотрении плоскости комплексной переменной С видно, что

Повторяя предыдущие рассуждения, нетрудно убедиться в том, что при перемещении точки вдоль вещественной оси от до затем от до точки и точка С перемещается в плоскости С по вещественной оси от до затем по прямой, параллельной вещественной оси, от до и по вещественной оси от до 0. Следовательно, задача сводится к изучению электростатического поля между двумя бесконечными плоскостями с разными потенциалами. Нам известны силовые и эквипотенциальные линии этого поля, которые являются прямыми, параллельными соответственно мнимой и вещественной осям плоскости. Отображения этих линий представляют собой - в плоскости семейство ортогональных окружностей, показанных на рис. 1.45. Поэтому задача, поставленная вначале, может быть решена применением отображения Шварца к указанному семейству окружностей. Это отображение в конечном счете даст эквипотенциальные и силовые линии в плоскости z. Таким образом, задача решается с помощью двух последовательных отображений.