5.5.3. Матрицы преобразования для некоторых часто встречающихся систем координат.

Рассмотрим матрицы преобразования прямоугольных координат, используемые во всех тех случаях симметрии, которые могут встретиться при изучении кристаллов.

а) Поворот на угол направлении против часовой стрелки) вокруг оси 1:

вокруг оси 2:

вокруг оси 3:

Можно сразу же получить матрицы, соответствующие поворотам на углы вокруг каждой из осей.

Рассмотрим поворот на угол вокруг оси 3 и последующий поворот на угол вокруг нового положения (после первого поворота) оси

Такое преобразование приводит к совпадению новой оси 1 с направлением, определяемым углами (сферические координаты). Матрица этого преобразования обозначается а:

б) Симметрия по отношению к плоскостям 1—2, 2—3, 1—3:

в) Симметрия по отношению к началу координат:

Пример. Возьмем кристалл с осью симметрии четвертого порядка (тетрагональный). При повороте на 90° вокруг оси 3 матрица преобразования имеет вид

Примем ось симметрии за ось 3. Если повернуть кристалл вокруг этой оси на 90°, то в физических свойствах кристалла не произойдет никаких изменений, а следовательно, такой поворот не изменит тензора откуда следует, что

Представляя это равенство в развернутом виде, получим

что, в силу симметрии матрицы, приводит к условиям:

Видим, что имеются только две не равные нулю независимые компоненты

Кристаллы тетрагонального класса обладают и другими видами симметрии, которые в рассматриваемом случае не вносят никаких дополнительных упрощений. Итак, если ось симметрии четвертого порядка тетрагонального кристалла принимается за ось 3, то тензор диэлектрической проницаемости имеет вид

Диэлектрические свойства тетрагонального кристалла будут известны, если будут определены экспериментально величины представляющие собой значения диэлектрической проницаемости в направлениях, соответственно перпендикулярном и параллельном оси симметрии кристалла.

Действительно, найдем для этого кристалла диэлектрическую проницаемость в направлении, определяемом углами Она будет равна где тензор определяется равенством

Непосредственное вычисление дает

Эта величина, как было очевидно и заранее, не зависит от угла так как ось 1 является произвольной осью в плоскости, перпендикулярной оси 3, и, следовательно, угол также является произвольным.