2.2.5. Спектр частот.

Имея функцию мы можем определить спектр частот функции аналогичный спектру ряда Фурье в комплексном виде, с той разницей, что здесь речь идет о непрерывном спектре. При частном значении со функция может быть представлена вектором, компоненты которого будут действительной и мнимой частью Если расположить начало этих векторов, соответствующее всем значениям от до на оси , перпендикулярной плоскости образованной действительной и мнимой осями, то конец вектора опишет кривую (в большинстве случаев пространственную), которая и будет графически представлять непрерывный спектр частот функции (рис. 2.14).

Рис. 2.14.

Рис. 2.15.

Это трехмерное довольно неудобное изображение заменяют проекциями кривой на плоскости т. е. кривыми, представляющими отдельно вещественную и мнимую части комплексной функции (рис. 2.15):

Эти две кривые полностью осведомляют нас об амплитуде и фазе каждой составляющей. нечетная функция, иначе говоря, начало координат будет центром симметрии кривой четная функция, иначе говоря, ось ординат будет осью симметрии кривой Отсюда вытекает, что если четная функция, то спектр сводится только к действительной части совпадающей с модулем функции или с амплитудой

Точно так же, если нечетная функция, то спектр сводится к мнимой части которая совпадает в этом случае с

Можно пользоваться также и другим представлением, которое состоит в том, что по оси ординат откладывают либо амплитуду

либо ее квадрат (рис. 2.16). Это представление неудобно тем, что не выявляет фаз отдельных составляющих, однако имеет то преимущество, что остается неизменным - при любом перемещении начала отсчета времени Действительно, легко заметить, что так же, как в случае спектра для ряда

Фурье, при смещении начала отсчета времени кривая претерпевает винтообразное скручивание, пропорциональное Это изменяет составляющие но не амплитуду

Рис. 2.16.

Пример. Чтобы лучше понять механизм перехода от разложения в ряд Фурье к интегралу Фурье, рассмотрим следующий простой пример. Дана функция времени, состоящая из прямоугольных импульсов высотой и шириной повторяющихся с частотой Это функция с периодом

Ее разложение в ряд Фурье будет

Спектр этой функции состоит из счетного числа отдельных линий (соответствующих последовательным целым числам), отстоящих друг от друга на

График функции и ее спектр для нескольких значений отношения приведены на рис. 2.17, где введено обозначение Концы вертикальных линий, изображающих амплитуды, располагаются на кривых

показанных на рисунке слева; самый большой максимум на этих кривых равен

Рассмотрим теперь кривые

показанные на рис. 2.17 справа; самый большой максимум здесь равен

Ординаты правых кривых будут с точностью до коэффициента — равны относительным амплитудам. Они отличаются от предыдущих множителем т. е. отнесены к Если стремится к нулю, т. е. если импульсы все дальше отстоят друг от друга по времени, сохраняя прежнюю форму, то линии спектра все больше сближаются, левая кривая — величины их амплитуд — все больше сплющивается, но относительные амплитуды на правой кривой остаются неизменными. В пределе, когда функция сводится к одиночному импульсу в начале отсчета времени. Тогда в спектре частот имеется несчетное число линий (т. е. столько, сколько точек на прямой), кривая слева — бесконечно сплющенная сливается с осью но

кривая справа — относительные амплитуды — остается неизменной, ее внутренняя область полностью заполняется бесконечно сближенными линиями. Это спектр частот изолированного импульса. Его можно найти непосредственно из формулы (21):

Это особенно простой пример, так как в силу симметрии подынтегральной функции мнимая часть равна нулю. Все составляющие находятся в одинаковой фазе.

Рис. 2.17. (см. скан)

На рис. 2.17 изображен импульс высотой шириной сек для следующих случаев: один импульс за каждые две, восемь, двадцать секунд и одиночный импульс.

Случай ударного импульса. Предположим, что бесконечно возрастает, а стремится к нулю так, что произведение постоянно и равно конечному числу . В этом случае

Очень короткий ударный импульс имеет спектр частот, не зависящий от частоты (рис. 2.18).

Рис. 2.18.

Рис. 2.19.

Рис. 2.20.

Пример. Функция равна нулю при и равна (рис. 2.19). Имеем

откуда

На рис. 2.20 воспроизведен спектр частот, т. е. кривые

Подставим в формулу (20). Тогда

Мнимая часть справа равна нулю. Интегралы, определяющие вещественную часть, очень легко подсчитать по способу, указанному в п. 1.3.23.

Первый интеграл равен при при (рис. 2.21).

Второй интеграл равен и при

Сумма, следовательно, равна нулю при и при Мы восстановили, таким образом, функцию Спектр частот, который можно получить, возведя модуль в квадрат, будет

(см. рис. 2.23).