6.3.7. Система цилиндрических координат.

Если граничные условия для функции заданы на цилиндре вращения с осью то нужно перейти к системе цилиндрических координат, описанной в п. 3.4.3 и изображенной на рис. 3.27. В этой системе уравнение (34) будет

Будем искать решение в форме

После подстановки и деления на уравнение (36) приобретает вид

Первые два члена (37) не зависят от z, поэтому и третий член не должен зависеть от z.

Полагаем

Знаку минус соответствует решение

а знаку плюс —

Тогда уравнение (37) может быть написано в виде

Рассуждение, подобное предыдущему, приводит к уравнению

Знаку минус отвечает решение

знаку плюс —

Для функции знак плюс приводит к бесселевым функциям с мнимым индексом. Этот случай встречается на практике очень редко, и мы не будем на нем останавливаться.

Если радиус-вектор может свободно вращаться в области существования функции то она должна принимать одинаковое значение при т. е. должно быть целым числом При этом говорят, что имеет место симметрия повторения порядка Особый случай представится, если, например, область является полым цилиндром с радиальной перегородкой. Подставляя (41) в (40), получим

Это уравнение решается в бесселевых функциях (см. § 7,5). Рассмотрим частные случаи:

1. Перед знак плюс или знак минус, но при условии, что Обозначая для этого случая имеем

2. Перед знак минус, причем Полагая

Если ось входит в область существования решения, то должна принимать конечные значения при Это исключает решения -Таким образом, произведение Лапласа будет

где функции даются равенствами (38), (39), (41) — (43).

Замечание. Случаи, когда одна из постоянных а равна нулю, следует рассматривать отдельно. Если то решение (38) и (39) заменяется на

Точно так же, если решение (41) заменяется на

Функции Бесселя имеют тогда нулевой порядок. По причинам, указанным выше, при наличии симметрии вращения А должно равняться нулю.

Если , то решение (42) заменяется на

Если, кроме того, равно нулю, то

Если ось входит в область существования то