ГЛАВА V. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ

5.1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

Аффинное векторное пространство. Метрическое пространство

5.1.1. Определения.

Рассмотрим -мерное пространство. В этом случае система координат состоит из координатных осей. На каждой из них мы определим свою единицу длины, которая будет служить для измерения координат вдоль этой оси. Единичные отрезки осей, имеющие положительное направление, принято называть единичными векторами или ортами. Обозначим их через

Рассмотрим вектор Пусть его компоненты по осям Компоненту вектора по оси можно получить, проектируя вектор на эту ось параллельно гиперплоскости, образованной другими осями. Вектор V будет, следовательно, представлять собой геометрическую сумму

и

Символ 2 означает, что сумма состоит из всех членов, которые можно получить, если придавать все возможные значения от 1 до

Если в рассматриваемом -мерном пространстве не предполагается возможным сравнение длин мы будем называть его аффинным векторным пространством. В противном случае, т. е. если возможно найти эталон длины, сравнимый со всеми длинами будем называть пространство метрическим.

Аффинное векторное пространство позволяет изучать общие свойства фигур, не изменяющиеся при произвольном преобразовании системы координат. Однако оно ограничивает исследование лишь теми свойствами фигур, при изучении которых не приходится прибегать к понятию расстояния, а следовательно, и к понятию угла. Пока эти понятия нам не потребуются, мы будем рассматривать аффинное пространство, но, как только возникнет необходимость ввести понятие расстояния, мы будем переходить к метрическому пространству. При такой постановке мы сможем формулировать теоремы с наибольшей общностью.

На первый взгляд рассмотрение пространств, в которых понятие расстояния между двумя точками не имеет смысла, может показаться странным. Между тем такими пространствами часто пользуются. Классическим примером может служить трехмерное пространство, в котором по координатным осям откладываются давление, удельный объем и температура. Очевидно, что не существует общей единицы измерения для давлений, объемов и температур; следовательно, понятие расстояния между двумя точками в таком пространстве

совершенно бессмысленно. Точно так же обстоит дело, например, с кривыми, которые чертит регистрирующий термометр или барометр.

5.1.2. Преобразование координат.

Пусть единичные векторы старой системы координат, а единичные векторы новой системы.

Если обозначить через а проекцию единичного вектора на единичный вектор полученную при проектировании параллельно гиперплоскости, образованной всеми остальными осями старой системы, то получится уравнений:

Таблица коэффициентов

есть матрица а линейного преобразования.

По предположению, старые единичные векторы линейно независимы. Это значит, что нельзя построить такую их линейную комбинацию в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля. Если определитель, составленный из величин

отличен от нуля, то новые векторы будут также линейно независимы. Это значит, что нельзя построить линейную комбинацию в которой хотя бы один из коэффициентов был отличен от нуля. Другими словами, если векторы не находятся в одной гиперплоскости и если определитель отличен от нуля, то и векторы также не находятся в одной гиперплоскости.

Уравнения (1), которые можно написать сокращенно в виде

дают нам новые единичные векторы как функции старых единичных векторов

Рассмотрим обратный случай, т. е. будем искать старые единичные векторы как функции новых. Эта задача сводится к решению системы (1)

относительно Найдя решение, получим систему уравнений вида

или, в сокращенном виде,

Матрица этого линейного преобразования равна Общий элемент матрицы (3 будет, следовательно, равен

где алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы а. Рассмотрим сумму произведений

Эта сумма равна единице при равном и нулю при отличном от Действительно, произведение двух матриц есть единичная матрица. Элементы 2а этой матрицы находятся на главной диагонали — они равны единице. Элементы не находятся на главной диагонали — они равны нулю. Пользуясь символом Кронекера. будем обозначать

Напомним, что

Если требуется найти коэффициенты а как функции коэффициентов то, учитывая, что получим

алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы