8.3.15. Случай кратных корней.
Случай, когда полином
имеет кратные корни, приводит к более сложной формуле. Рассмотрим отношение двух полиномов
и предположим, что степень числителя меньше степени
знаменателя.
Если знаменатель имеет кратные корни, то его можно записать в виде
где
Тогда
или
Вычислим коэффициенты
Умножим
на
Имеем
где функция
сохраняет конечное значение при
Поэтому
Дифференцируя предыдущее выражение, получим тем же способом
Осуществляя дифференцирование
раз, находим
С другой стороны, известно, что
Отсюда
где
Примечание. На практике всегда полезно проделать непосредственно предыдущее вычисление, а не применять формулу (55), так как она довольно сложна.
Пример. Требуется найти оригинал для
Умножим обе части на
и подставим
Тогда
Умножим обе части на
Тогда
Если положить в предыдущем равенстве и равенствах, полученных его однократным и двукратным дифференцированием,
то найдем
Отсюда искомый оригинал