7.5.41. Собственные электромагнитные колебания резонатора, имеющего форму кругового цилиндра.

Будем предполагать, что вещество, образующее стенки, имеет бесконечно большую проводимость и что резонатор замкнут двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на длину Ограничимся рассмотрением синусоидальных функций времени. В качестве системы отсчета возьмем систему цилиндрических координат, причем за ось примем ось цилиндра. Положим При этом условия Бромвича (см. п. 6.3.13, формула выполняются, так как Функция Бромвича (потенциал электрических колебаний) задается уравнением

которое совпадает с уравнением (36) п. 6.3.7, т. е. с уравнением в цилиндрических координатах. Соответствующее произведение Лапласа равно

при

Если внутренность цилиндрического резонатора пуста и, в частности, если йалый коаксиальный проводящий цилиндр не изолирует ось от области существования то поле должно иметь конечные значения при Мы вынуждены тогда исключить функцию Случай с коаксиальным проводником разбирается в п. 7.5.43.

Предположим, что радиус-вектор может свободно поворачиваться на целое число окружностей. (Случай радиальной перегородки рассматривается в конце данного пункта.) При этом поле должно снова получить исходное значегие; следовательно, равно целому числу При таких условиях произведение Лапласа будет

Электромагнитные поля типа поперечного электрического и поперечного магнитного даны уравнениями (85) и (86) п. 6.3.13. Обозначив через производную по аргументу получим для поперечной магнитной волны (волны :

для поперечной электрической волны (волны :

Обозначим через радиус цилиндра. Тогда требование равенства нулю тангенциальных составляющих электрического поля на стенках цилиндра приводит к граничным условиям

Они вынуждают определять параметры для волны с помощью соотношений

и за произведение Лапласа для этой волны принять выражение

Аналогично для волны параметры следует определить из соотношений

и принять за произведение Лапласа

Обозначив через не равный нулю корень уравнения а через не равный нулю корень получим следующие выражения для полей.

Поперечная магнитная волна (волна :

Если полость внутри пустая, частота этого колебания будет равна

Самая низкая частота соответствует и первому корню Она равна, следовательно,

если выражено в сантиметрах.

Поперечная электрическая волна (волна :

В пустой полости частота этого колебания равна

Самая низкая частота соответствует Первый неравный нулю корень равен 3,8317, а первый неравный нулю корень равен 1,8412 (см. таблицу в п. 7.5.49). Следовательно, самая низкая частота для волн соответствует не

Различные колебания, которые могут существовать внутри цилиндрического резонатора, определяются совокупностью допустимых значений чисел

Рис. 7.32.

Число определяет периодичность вдоль направления, параллельного (рис. 7.32). Число. определяет периодичность повторения, если радиус-вектор вращается вокруг (рис. 7.33). Число определяет число узловых окружностей, на которых некоторые составляющие поля становятся равными нулю (рис. 7.34). Самая низкая частота волн соответствует группе из трех чисел (0, 0, 1). Самая низкая частота волн соответствует группе (1, 1, 1). Например, при для поперечной магнитной волны составляющие становятся равными нулю на утолщенных окружностях рис. 7.34, а, а составляющие становятся равными нулю на утолщенных окружностях рис. 7.34, б.

Ко всем указанным периодичностям прибавляется еще периодичность во времени, происходящая от множителя

Замечание. В группы формул, написанных для поперечных магнитных и электрических волн, неявно входит постоянный коэффициент, зависящий от выбора чисел

Рис. 7.33.

Он зависит от других граничных требований, относящихся к условиям возбуждения колебаний в полости (см. замечание 2 к п. 6.3.14).

Рассмотрим случай наличия у цилиндра радиальных перегородок. Допустим, что в цилиндре имеются две радиальные перегородки, образующие между собой угол . К уже написанным выше условиям равенства нулю тангенциальных составляющих электрического поля на границе цилиндра следует добавить аналогичные условия, касающиеся обеих перегородок:

Нужно исключить из формул, выражающих и добавить к соотношениям, определяющим параметры, вместо условия новое соотношение

или

Рис. 7.34.

Число следовательно, теперь может отличаться от целого числа. В частности, в случае, когда т. е. когда перегородки сливаются в одну, При четном мы снова приходим к уже полученным решениям, но при нечетном имеет место ряд других решений, в которые входят