7.6.18. Определение функции Лежандра первого рода через интеграл Коши.

Рассмотрим интеграл Шлефли (123). Подставив его в дифференциальное уравнение Лежандра, получим после несложных преобразований

Если целое положительное число, то полученное равенство удовлетворяется. Это подтверждает то, что уже нам известно: интеграл Шлефли представляет собой решение дифференциального уравнения Лежандра. Функция

если целое положительное, при полном обходе контура С принимает первоначальное значение. В этом случае интеграл Шлефли, как показано в п. 7.6.12, совпадает с полиномом Лежандра

Пусть не целое число. Тогда интеграл Шлефли позволяет дать другое определение функции Лежандра первого рода.

Рассмотрим функцию (138). Она имеет три особые точки (точки разветвления): Предположим, что контур С окружает только точку

Рис. 7.45.

Рис. 7.46.

Рис. 7.47.

Если, исходя из точки А (рис. 7.45), обойти этот контур в положительном направлении, то новое значение функции в точке А равно первоначальному, умноженному на

Если же контур С окружает только точку (рис. 7.46), то при обходе этого контура в положительном направлении функция приобретает множитель

Значит, если контур С окружает две особые точки (рис. 7.47), то при полном обходе контура функция принимает первоначальное значение.

Следовательно, функция

представляет собой решение дифференциального уравнения Лежандра, котороесовпадает с полиномом Лежандра, если число целое положительное. При произвольном эта функция определяет функцию Лежандра первого рода

Чтобы добиться однозначности такого определения сферической функции, принимают, что в исходной точке А (точке пересечения контура С с осью абсцисс при равны нулю аргументы абсолютное значение аргумента меньше и в плоскости осуществлен разрез от точки до точки (рис. 7.47).