6.2.11. Некоторые теоремы о свойствах решений линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим уравнение

где произвольные функции.

Пусть два линейно независимых решения (11). Подставим их в уравнение (11) и исключим из обоих уравнений. Имеем

Выражение в левой части представляет собой, с точностью до множителя производную произведения

Отсюда получаем соотношение, связывающее и их первые производные:

Разделив на найдем

откуда

Эта формула позволяет по одному частному решению найти второе, линейно независимое с первым решение

Относительно корней решений уравнения (11) мы можем сформулировать следующие три теоремы:

1. Пусть функция не равная тождественно нулю, — решение уравнения (11), и корни не являются полюсами Тогда корни простые.

В самом деле, пусть а — двойной корень Тогда В силу уравнения (11) и предположения теоремы обращается в нуль также и Последовательно дифференцируя уравнение (11) и подставляя затем значение получим, что

Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки Имеем

Следовательно, что противоречит предположению.

2. Два линейно независимых решения уравнения (11) не могут иметь общих корней.

Положим в уравнении (11) Тогда

Выберем и таким образом, чтобы коэффициент при обратился в нуль, Имеем

откуда

Уравнение (11) примет вид

где

Корни функций совпадают, так как

Пусть два линейно независимых решения (12). Имеем

Отсюда находим

Если обращаются в нуль при одном и том же значении а, то постоянная С должна быть равна нулю. Отсюда получаем

что противоречит предположению о линейной независимости Следовательно, не имеют общих корней, и это справедливо также и для обоих линейно независимых решений (11).

3. Нули двух линейно независимых решений уравнения (11) взаимно разделяют друг друга (теорема Штурма). Из предыдущего вычисления имеем

Отсюда

Положим, что два последовательных корня Покажем, что внутри интервала лежит корень Предположим противное.

Тогда функция будет непрерывна при и равна нулю на концах этого интервала, так как, согласно предыдущей теореме, числа не будут корнями Следовательно, Но не может быть равен нулю, так как сохраняет в промежутке интегрирования постоянный знак. Отсюда следует, что должна обращаться в нуль внутри интервала При этом имеет внутри только один корень. В противном случае, повторяя предыдущее рассуждение, но поменяв местами мы могли бы показать, что обращается между двумя корнями в нуль. А это противоречит предположению, что последовательные корни