Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений
8.5.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Дано дифференциальное уравнение
Применим преобразование Лапласа к функциям 
и обозначим через 
их изображения. Тогда применение формулы (28) дифференцирования функции переменной 
преобразует дифференциальное уравнение (134) в алгебраическое уравнение
Отсюда
где через 
обозначена функция, стоящая в правой части соотношения (135), а через 
характеристический полином
В весьма важном частном случае, когда функция 
и ее 
первых производных равны нулю при 
имеем
Применение формулы (54) к дает
если считать, что полином 
степени 
имеет только простые корни 
Применение теоремы свертывания (формула 
дает
Такой способ решения линейных дифференциальных уравнений имеет то громадное преимущество, что вводит начальные условия в начале вычислений. Это помогает избежать отыскания общего решения, когда нужно найти, а это почти всегда так и бывает, частное решение.
Найдем, для примера, решение уравнения 
при начальных условиях 
Имеем
Отсюда
Следовательно,
Совершенно очевидно, что отыскание классическим способом общего решения и введение начальных условий в конце вычислений заняло бы гораздо больше времени.
Пример 1. Требуется найти решение уравнения
равное нулю при 
Имеем
Следовательно,
Пример 2. Требуется найти решение уравнения
равное нулю вместе с. производной при 
Имеем
Формула (37) дифференцирования функции переменной 
дает
Следовательно,
