10.6.3. Решение с помощью ряда Тейлора.

Предположим, что значения переменной х возрастают в арифметической прогрессии с разностью

Разложение в ряд Тейлора искомой функции у дает значение для значения независимой переменной как функции значения у и ее последовательных производных в точке

Но дифференциальное уравнение, которое требуется решить, дает

Отсюда последовательным дифференцированием получаем

Формулу (97) применяют для

Если остановить разложение на члене то это сводится к замене решения у между абсциссами полиномом, имеющим в точке соприкосновение порядка с решением, проходящим через эту точку.

Пример. Требуется вычислить для абсцисс 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 решение дифференциального уравнения

подчиняющегося начальным условиям

Так как интеграл вычисляется точно, то можно будет проверить расчеты. Действительно, если положить то

и предложенное дифференциальное уравнение принимает вид

Отсюда

Следовательно, вычисляемый интеграл равен

Установив это, вычислим последовательным дифференцированием рассматриваемого уравнения. Тогда

Вначале При восьмой член разложения в ряд Тейлора равен Он порядка . В разложении мы пренебрегаем этим членом.

По формуле (97) вычисляется последовательно а по только что полученным формулам — Результаты приведены в таблице:

(см. скан)