10.6.3. Решение с помощью ряда Тейлора.
Предположим, что значения переменной х возрастают в арифметической прогрессии с разностью
Разложение в ряд Тейлора искомой функции у дает значение
для значения
независимой переменной как функции значения у и ее последовательных производных в точке
Но дифференциальное уравнение, которое требуется решить, дает
Отсюда последовательным дифференцированием получаем
Формулу (97) применяют для
Если остановить разложение на члене
то это сводится к замене решения у между абсциссами
полиномом, имеющим в точке
соприкосновение
порядка с решением, проходящим через эту точку.
Пример. Требуется вычислить для абсцисс 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 решение дифференциального уравнения
подчиняющегося начальным условиям
Так как интеграл вычисляется точно, то можно будет проверить расчеты. Действительно, если положить
то
и предложенное дифференциальное уравнение принимает вид
Отсюда
Следовательно, вычисляемый интеграл равен
Установив это, вычислим
последовательным дифференцированием рассматриваемого уравнения. Тогда
Вначале
При
восьмой член разложения в ряд Тейлора равен
Он порядка
. В разложении мы пренебрегаем этим членом.
По формуле (97) вычисляется последовательно
а по только что полученным формулам —
Результаты приведены в таблице:
(см. скан)