Дифференциальные уравнения, решение которых может быть выражено через решение дифференциального уравнения Бесселя
При решении различных задач уравнение Бесселя редко встречается в каноническом виде (13). Полезно уметь привести в тех случаях, когда это возможно, решение рассматриваемого уравнения к решению уравнения (13). Для упрощения записи полагаем
обозначив тем самым через 
общее решение уравнения (13).
7.5.36. Основные типы.
Уравнение
сводится к уравнению (13) путем замены переменных
Отсюда получаем общий интеграл 
Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение
Мы приведем его к типу (89) при помощи замены функции
Имеем
Если выбрать 
таким образом, чтобы 
то предыдущее уравнение преобразуется к виду (89):
Отсюда общее решение уравнения (90) будет
Укажем несколько типов уравнений, общее решение которых строится при помощи бесселевых функций. Заменой переменной и функции их легко свести к каноническому виду (13). Для краткости мы ограничимся только приведением окончательных результатов. 
Уравнение
имеет общее решение
Уравнение (90) относится к типу (91) при 
Положим в (91) параметр а равным нулю. Уравнение
имеет общее решение
Если, кроме того, мы приравняем 
и напишем параметр с в виде 
уравнение (91) принимает вид
Оно имеет общее решение
Если в уравнении (91) приравнять 
то мы получим уравнение
общее решение которого имеет вид
Если, кроме того, 
то находим общий интеграл уравнения
который равен
Если в уравнении (91) параметр с положить равным нулю, то получим
Это уравнение имеет общее решение
Часто встречающееся дифференциальное уравнение
не что иное, как уравнение (95), в котором 
Всюду в предыдущем предполагается, что 
. В частности, общие решения 
не годятся, если 
Если предположить 
то уравнение (91) получает вид
Это уравнение Эйлера 
Оно сводится, если положить 
к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
Уравнение
при 
имеет общее решение
Если 
то легко заметить, что
представляют собой при 
два линейно независимых решения. Если 
оба эти интеграла превращаются в один, но легко проверить, что тогда выражение 
будет решением. В этом случае получаем общий интеграл в виде
Ниже указывается несколько видов дифференциальных уравнений, приводящих к особенно простым решениям. Они не входят в типы уравнений, приведенных выше. Уравнение
допускает в качестве общего решения
Отметим также следующие два частных случая предыдущего уравнения;
Пример. Найдем общий интеграл
Сопоставление с уравнением (91) дает
Отсюда, подставляя эти значения в (92), получаем искомый общий интеграл
