2.2.2. Комплексная форма интеграла Фурье.

Применим формулы (15) и (16) для ряда Фурье с комплексными членами к функции, изображенной на рис. 2.11. Имеем

Если обозначить, как это делалось в предыдущем пункте,

и, кроме того,

то

Оба эти выражения справедливы при

Пусть бесконечно возрастает. Тогда в пределе

Если подставить выражение (21) для в формулу для то

Последнее выражение представляет собой комплексную форму интеграла Фурье.

Отделим вещественную часть от мнимой:

Функция нечетная функция от . Отсюда вытекает, что мнимая часть полученной формулы равна нулю. Это, впрочем, очевидно, так как вещественная функция и мнимая часть справа должна отсутствовать. Точно так же, поскольку четная функция от , мы можем, введя коэффициент 2, свести область интегрирования по к интервалу Следовательно, в конечном счете

Это в точности формула (19), найденная нами ранее.

Было бы интересно получить выражение интеграла Фурье в комплексной форме, используя амплитудную функцию и фазовую определенные в п. 2.2.1. Очевидно, что

откуда

Замечание. Множитель можно поместить в любую из формул (20) или (21): в выражение для как в данном пункте, либо в выражение для как будет сделано в п. 2.2.8, в соответствии с принятым стандартом для формул преобразования Фурье. Некоторые авторы из соображений симметрии вводят множитель в обе формулы. Все это вопрос определения иначе говоря, зависит от смысла вводимых в теорию обозначений. Здесь следует быть весьма внимательным, в частности, при пользовании таблицами преобразований Фурье.