6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
Общий вид дифференциального уравнения порядка выше первого
Решить это уравнение в квадратурах можно лишь в исключительно редких случаях. Иногда удается понизить порядок уравнения, что существенно облегчает решение.
Случаи понижения порядка уравнения
6.2.1. Уравнение не содержит явно функцию у.
Достаточно ввести новую функцию
и порядок уравнения понижается на единицу. Если, кроме того, в уравнении (4) отсутствуют производные
то, полагая
мы снизим порядок уравнения на
единиц.
6.2.2. Уравнение не содержит явно независимой переменной х.
В этом случае примем у за новую независимую переменную, а 
за новую функцию. Получим
Дифференциальное уравнение (4) принимает вид 
Порядок уравнения (4) снизился на единицу.
6.2.3. Уравнение, однородное относительно ...
Положим
Отсюда
Подставим эти выражения в уравнение (4). Вследствие однородности относительно 
функция 
будет общим множителем членов уравнения. После сокращения на 
новое дифференциальное уравнение уже не будет содержать явно функцию z. Мы приходим, таким образом, к случаю, рассмотренному в п. 6.2.1.
6.2.4. Уравнение, однородное относительно х и dx.
Положим
Отсюда
Подставим эти выражения в уравнение (4). Вследствие однородности относительно 
множители 
исчезают. Поэтому новое дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной z, и мы приходим к случаю, рассмотренному в п. 6.2.2.
6.2.5. Уравнение, однородное относительно ...
Положим 
, где 
новая функция. После этой замены уравнение (4) становится однородным относительно 
Мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте.
6.2.6. Общий случай однородного уравнения.
Будем считать 
величинами первого измерения, а 
измерениями порядка 
Тогда будет порядка 
порядка 
и т. д.
Так же как и в предыдущем случае, мы приходим к дифференциальному уравнению, рассмотренному в п. 6.2.4, путем следующей замены функции:
Пример. Решим уравнение
Оно, очевидно, принадлежит к рассмотренному типу при 
Положим
Отсюда
Уравнение (5) принимает вид
т. е. становится однородным относительно 
(см. п. 6.2.4). Полагаем
отсюда
Подставляя в уравнение (6), получаем
Уравнение (7) не содержит в явном виде переменной z. Положим
Тогда
и уравнение (7) принимает вид
Переменные разделяются, и z выражается с помощью эллиптического интеграла.
