2.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

2.2.1. Вещественная форма интеграла Фурье.

Пусть на всей вещественной оси задана некоторая функция Мы уже видели, что в промежутке ее можно разложить в ряд Фурье. Если считать теперь, что изменяется не от до , а пробегает всю вещественную ось от до то функция, представленная рядом Фурье, уже не будет совпадать с вне промежутка График этой функции получится параллельным переносом (как направо, так и налево) на участки длиной графика на основном промежутке.

Рис. 2.11.

Для целого ряда задач было бы полезно вывести из ряда Фурье разложение, могущее представить функцию заданную от до Оно называется разложением в интеграл Фурье.

Возьмем функцию и рассмотрим, как уже было сказано, ее значения в промежутке иначе говоря, рассмотрим часть изображающей ее кривой, заключенную между точками с абсциссами (рис. 2.11).

Переместим начало координат в среднюю точку С отрезка Для значений заключенных между т. е. для таких что функция представляется разложением

где а коэффициенты даются формулами

Рассмотрим, что произойдет с разложением, если устремить k. бесконечности. Для этого запишем разложение в следующем виде:

Мы обозначили при суммировании учтем, что — разность между двумя последовательными значениями

Можно, следовательно, рассматривать как приращение величины а). Заменяя их выражениями, найдем

Иначе говоря,

Пусть стремится к бесконечности. этом случае превращается в Будем считать, что интеграл от по бесконечному промежутку сходится. Тогда

и мы получим следующую формулу для функции

Это разложение в интеграл Фурье функции

Если раскрыть и вывести из-под знака внутреннего интеграла члены, не зависящие от то можно написать

Отсюда мы видим, что можно рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний с амплитудой

и фазой

Формулу (19) можно теперь написать в следующем виде: