5.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Этот оригинальный метод был разработан в США Габриэлем Кроном.

5.4.1. Элементы электрических цепей с сосредоточенными постоянными.

Электрическая цепь наиболее общего вида состоит из нескольких ветвей, соединенных между собой определенным и не меняющимся во времени способом. Такая ветвь, схематически представленная на рис. 5.9, может содержать катушки индуктивности, конденсаторы, активные сопротивления, электронные усилители, электродвигатели и т. д. Между элементами цепи, входящими в некоторые ветви, может иметь место электромагнитная или электромеханическая связь. В некоторых ветвях, или даже в большинстве из них, могут находиться источники э. д. с.

Точка соединения нескольких ветвей называется узлом. Если два узла соединены накоротко, они образуют один узел (рис. 5.10). Замкнутая цепь называется контуром. Сложную цепь можно разложить на некоторое число простейших цепей. Между двумя простейшими цепями нет непосредственного электрического соединения, но существует электромагнитная или электромеханическая связь. Без этой связи обе простейшие цепи будут полностью независимы друг от друга. Контуры и ветви представляют собой расчетные единицы цепи. Пусть — соответственно наименьшее число простейших цепей, узлов, контуров и ветвей, какое только можно различить в данной цепи. Между ними существует соотношение

позволяющее определить минимальное число контуров которое необходимо рассмотреть для расчета цепи.

Рис. 5.9.

Рис. 5.10.

При непосредственном рассмотрении цепи это число не очевидно, но минимальное количество узлов ветвей В, простейших цепей 5 можно сразу увидеть из схемы цепи. Отсюда по формуле (10) определяем число

Каждая ветвь содержит некоторое количество пассивных элементов, совокупность которых образует собственное сопротивление ветви. Прохождение комплексного тока по этому сопротивлению вызывает появление комплексного напряжения на его зажимах. Обозначим через отношение комплексного напряжения на зажимах к комплексному току в ветви — собственное сопротивление ветви.

Если ветвь образована последовательным соединением индуктивности, активного сопротивления и емкости, то

Если исследуется не стационарный синусоидальный, а переходный режим, то величина становится функцией комплексной переменной и получает следующий вид:

Если две ветви соединены друг с другом, это означает, что прохождение комплексного тока в ветви а вызывает в ветви появление комплексной электродвижущей силы, и наоборот. Сопротивление связи между измеряется соотношением между этим током и напряжением. Обозначим через Сопротивление связи между обозначим через

Принцип обратимости требует, чтобы

При электромагнитной связи

или

в зависимости от рассматриваемой задачи.

Набор некоторого количества и электродвижущих сил в ветвях может оказаться недостаточным для полного расчета электрической цепи. Действительно, необходимо еще иметь возможность легко различать по схеме направление индуктивной связи между двумя ветвями. Существуют два способа последовательного соединения двух катушек индуктивности: потоки катушек могут быть либо противоположны друг другу, либо иметь одинаковое направление (встречное или согласное включение). Чтобы безошибочно показать это на схеме (см. рис. 5.11), самое простое — ввести нумерацию зажимов ветвей. Можно начать с любой ветви, зажимы которой Нумеруются 1—2.

Рис. 5.11.

Рассмотрим какую-либо другую ветвь, индуктивно связанную с занумерованной. Если магнитный поток взаимной индукции, обусловленный током влияющей ветви, пронизывая рассматриваемую ветвь, будет иметь направление, одинаковое с ее собственным потоком, обозначим ее зажимы 1—2 (согласное включение, рис. 5.11, а). В противном случае их следует обозначить (встречное включение, рис. 5.11, б). При согласном включении смежные индексы различны, при встречном одинаковы. При отсутствии индуктивной связи нумерация не имеет значения.

Условимся, далее, относительно связи между направлением токов в ветвях и нумерацией зажимов. За положительное направление тока примем направление 1—2. То же правило будем относить и к направлению электродвижущих сил.

Рис. 5.12.

Пример. Рассмотрим электрическую цепь на рис. 5.12. Она содержит 3 узла, 5 ветвей и состоит из одной простейшей цепи. Следовательно, по формуле (10) минимальное число контуров равно 3. Предположим, что ветви включены согласно, а встречно. Предположим также, что электродвижущие силы, приложенные к ветвям имеют направления, указанные стрелками. Это обусловливает положительное направление токов в ветвях и электродвижущей силы в ветви За положительные направления токов других ветвей могут быть приняты любые, однако их следует считать до конца вычисления неизменными. Если направление

тока в какой-либо ветви, принятое нами за положительное, не будет соответствовать действительному направлению тока, то это означает, что в результате решения мы получим для этой ветви отрицательную величину тока.

Если направления токов совпадают со стрелками на рисунке, то электродвижущая сила ветви также будет положительна.

Ниже мы изложим метод быстрого составления уравнений, описывающих режим цепи. Подчеркнем, что речь идет о методе составления уравнений, а не об их решении.