4.1.39. Приближенное вычисление собственных значений матрицы.

Пусть — то собственное значение, которое имеет наибольший модуль.

а) Собственное значение вещественно. В п. 4.1.37 мы видели, что при бесконечно возрастающем может быть представлена в виде Отсюда следует, что если достаточно велико, то для матриц справедливо приближенное равенство

Если два элемента, занимающие одинаковые места соответственно в матрицах то

Пример. Найдем собственное значение с наибольшим модулем матрицы

Вычисление дает

Вычислим только элемент матрицы Он равен 88 164165 771. Разделив на элемент матрицы получим нам известно, что точное значение равно 18.

б) Собственное значение комплексно. Ограничимся матрицами с вещественными элементами. Пусть два комплексных сопряженных собственных значения с наибольшим модулем. Напишем предельную форму соотношения Сильвестра для функции где некоторый многочлен, не зависящий от

Возьмем

Тогда

и

Отсюда

или

Пусть будут элементами, занимающими одинаковые места соответственно в матрицах Если достаточно велико, то

Для других соответствующих элементов имеем

Решая эти уравнения и полагая получаем

Пример. Требуется найти собственные значения матрицы

Найти их очень легко, так как характеристическое уравнение имеет простой вид

Его корни

Воспользуемся предыдущим способом. Вычисляем последовательно

Взяв получим

тогда как точные значения будут:

Замечание. Если собственное значение с наибольшим модулем вещественно, то элементы возрастающих степеней матрицы монотонно возрастают. Если это не так, то колебания, доходящие иногда до перемены знака, указывают, что собственное значение с наибольшим модулем будет комплексным числом.

Упрощение метода. Способ, состоящий в том, чтобы возводить матрицу порядка в возрастающие степени, требует каждый раз вычисления произведений. Можно свести число произведений до если, используя ассоциативность, вместо матриц образовать матрицы обозначив через матрицу, представляющую собой произвольный вектор с координатами

Пусть опять собственное значение, имеющее наибольший модуль. Рассмотрим отдельно два случая.

а) Собственное значение вещественно. Как и в предыдущем случае, элементы матриц Элементы одностолбцовых матриц соответственно равны

Если достаточно велико то отношение близко к . Следовательно, также дело обстоит и с элементами Поэтому мы можем написать

б) Собственное значение X, комплексно. Как и в предыдущем случае, пусть элементы матриц элементы одностолбцовых матриц Если достаточно велико, то мы имеем соотношение

Так как

то

Замечания. 1. Сказанное выше означает, что повторное умножение матрицы на любой вектор стремится повернуть этот вектор вдоль собственного направления матрицы, соответствующего собственному значению с наибольшим модулем. Следовательно, вектор, представленный матрицей стремится к собственному вектору, соответствующему собственному значению и при достаточно большом может слиться с этим собственным вектором.

Докажем это положение. Числа, пропорциональные координатам собственного вектора, соответствующего собственному значению наибольшим модулем получаются из однородного уравнения

Но по теореме Кэли — Гамильтона

Сравнив уравнения (14) и (15), мы видим, что элементы матриц пропорциональны. С другой стороны, известно, что если достаточно велико, то т. е. матрица является с точностью до постоянного коэффициента пределом Следовательно, этот предел определяет собственное направление, соответствующее

2. Пусть после того, как найдено собственное значение с наибольшим модулем, требуется определить собственное значение модуль которого является следующим по величине после модуля . В п. 4.1.35 получена формула

В матрице

собственное значение заменено нулем, но сохраняются все остальные собственные значения матрицы а. Поэтому, чтобы продолжить вычисление, достаточно применить к матрице тот или другой из рассмотренных методов. Первый метод. Если достаточно велико, то

Отсюда

Способ вычисления указан ранее.

Второй метод. Если при вычислении А, был использован вектор то

Способ вычисления одностолбцовых матриц указан ранее. Пример. Возьмем матрицу а из первого примера п. 4.1.39. Получаем

Собственные значения матрицы равны 0, 6, 3.