Дадим последовательно величине х значения
Тогда
Отсюда
Положим
. Тогда полином (22) принимает вид
Напишем полином
в виде
Определим коэффициенты
условием, что
принимает значения
для значений
переменной. Вычисление, подобное предыдущему, последовательно дает
Отсюда
Положим
Тогда полином (24) пишется в форме
В связи с тем, что разности
расположены в таблице разностей на нисходящей косой строке, а разности
на восходящей косой строке, полином (23) называется интерполяционным полиномом Ньютона по нисходящим разностям, а полином (25) — интерполяционным полиномом Ньютона по восходящим разностям.
Пример. Пример уточнит условия применения обоих интерполяционных полиномов Ньютона.
Рассмотрим таблицу, взятую из п. 7.5.46. Она дает значения
для
при
:
(см. скан)
Естественно, мы будем предполагать, что таблица представляет единственные данные, находящиеся в нашем распоряжении.
Попробуем вычислить
заменив функцию
параболой третьей степени, проходящей через 4 последовательно расположенные точки. Так как аргумент близок к началу таблицы, то выгодно взять интерполяционный полином Ньютона по нисходящим разностям (23) при
, ибо он вводит только
Вводимые значения функции равны
с преобладающим влиянием
Это логично, так как 1,049 находится очень близко от
. И было бы очень невыгодно взять полином (25) при
Действительно, пришлось бы вводить
при преобладающем влиянии
которое соответствует аргументу 1,3, находящемуся далеко от 1,049.