6.3.9. Система эллиптических цилиндрических координат.

Если граничные условия заданы на поверхности эллиптического или гиперболического цилиндра, то следует перейти к системе координат, описанной в и показанной на рис. 3.30. В этой системе уравнение (34) записывается в виде

Будем искать решение в форме

После подстановки и деления на уравнение (53) приобретает вид

Полагаем

Отсюда

Если обозначить то уравнение (54) примет вид

Это уравнение распадается на два следующих:

Полагая получим

Уравнение (57) называется дифференциальным уравнением Матье. Уравнение (58) сводится к предыдущему путем замены переменной

Для того чтобы функция вернулась к первоначальному значению после полного оборота по поверхности эллиптического цилиндра, она обязана иметь по период (ср. п. 6.3.7). Это должно иметь место, если по условиям задачи отсутствует радиальная перегородка, препятствующая изменению на угол, превосходящий . В этом важном случае мы оставляем только те решения уравнения Матье (57), которые имеют период Они называются функциями Матье целого порядка и обозначаются (см. п. 7.7.1)

Решения уравнения (58) в свою очередь представляют собой присоединенные функции Матье целого порядка :