Изображения разрывных функций. Приложения

8.3.25. Введение.

Из формулы (34) следует

Выражение представляет собой изображение функции времени, график которой представлен на рис. 8.8 (пунктир). Эта функция получается из сдвигом вдоль оси на k.

Формула обращения (83) придает формуле (34) такой вид:

где

Пример. Найдем изображение функции равной при и нулю при (рис. 8.16). Изображение равно Значит, искомое изображение равно

Рис. 8.16.

8.3.26. Изображения непериодических разрывных функций.

Найдем, для примера, изображение функции которая равна нулю при и снова равна нулю при

Синусоида начинающаяся в момент имеет, как мы только что видели, своим изображением

Рис. 8.17.

Поэтому синусоида начинающаяся в момент имеет своим изображением

Функция которая представляет собой разность между обеими синусоидами, имеет изображение

Пример 1. Найдем изображение функции, представленной на рис. 8.18 утолщенной линией.

Изображение функции, представленной полупрямой равно

Рассмотрим полупрямую проходящую через точку А с координатами и имеющую угловой коэффициент, равный по абсолютному значению угловому коэффициенту но противоположный ему по знаку. Изображение функции, представленной этой полупрямой, равно

Полупрямая параллельна (рис. 8.18). Представленная ею функция имеет изображение

Рис. 8.18.

Рис. 8.19.

Искомую функцию можно получить сложением обеих функций представленных линиями — Следовательно, изображение кции будет

Пример 2. Импульс, имеющий вид полупериода синусоиды приложен в момент к цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления и емкости (рис. 8.19). Требуется найти ток, текущий в момент времени .

Изображение синусоиды, начинающейся в момент равно . Изображение синусоиды, начинающейся в момент равно

Функция, представленная на рис. 8.19 утолщенной линией, будет иметь своим изображением сумму этих двух изображений. Следовательно,

Обобщенное сопротивление цепи равно

Тогда

Применяем формулу обращения

Вычеты, соответствующие полюсам равны нулю, так как Вычет, соответствующий полюсу дает искомый ток

Примечание. Если бы требовалось найти выражение при то функция была бы изображением бесконечной синусоиды так как при цепь "не знает", что эта синусоида будет прервана в момент

8.3.27. Изображение периодических разрывных функций.

Пусть однозначная функция с периодом К начинающаяся в момент не принимающая бесконечных значений и имеющая конечное число разрывов, максимумов и минимумов в периоде (рис. 8.20),

Рис. 8.20.

Пусть изображение функции изображение одного периода этой функции, начинающегося в т. е. нулевого периода. Тогда изображение первого периода равно изображение второго периода равно изображение периода равно Отсюда

или

Примечание. Применяем теорему обращения:

Это выражение дает разложение в ряд Фурье функции

Прим Требуется найти изображение и разложение в ряд Фурье функции (рис. 8.21)

Найдем изображение нулевого периода этой функции. Изображение синусоиды равно Изображение синусоиды равно

Следовательно, изображение нулевого периода функции равно

По формуле (86) изображение функции равно

Разложение в ряд Фурье-функции будет иметь вид

Вычеты, соответствующие полюсам равны нулю, так как Имеется бесконечное число простых полюсов, удовлетворяющих уравнению

иначе говоря, полюсами будут точки где принимает целые значения от до Для полюса имеем

Для полюсов, соответствующих всем целым положительным и отрицательным значениям кроме нуля, имеем

Отсюда получаем разложение в ряд Фурье:

Пример 2. К катушке самоиндукции с сопротивлением прикладывают напряжение, равное попеременно или в течение промежутков времени, равных (рис. 8.22).

Рис. 8.21.

Рис. 8.22.

При это напряжение остается равным в зависимости от четности или нечетности Требуется вычислить ток, проходящий по катушке в момент более поздний, чем Изображение напряжения равно

т. е.

Обобщенное сопротивление катушки с сопротивлением равно

Поэтому искомый ток будет

Для второго интеграла должны быть рассмотрены полюсы

а для первого интеграла — только два последних. Так как

то следует принимать во внимание только полюсы

Ток может быть написан в виде

Примечание. Если число зубцов кривой напряжения бесконечно, то это выражение справедливо при

При мы приходим, естественно, к примеру 1 п. 8.3.13.