10.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Пусть функция задана таблично. Заменим ее интерполяционным полиномом. Дифференцирование этого полинома даст нам приближения для последовательных производных функции.
Будем всегда обозначать шаг интерполяции через 
начальное значение х через а и через и — переменную 
Дифференцирование интерполяционного полинома Ньютона по нисходящим разностям (формула 
дает
Если в этих выражениях 
то
В последней строчке запись дана в операционной форме. Она не должна вызывать трудностей.
Если в выражении (47) придавать и последовательно значения 
то легко получить 
В формулах (47) и (48) используются разности на нисходящей диагонали, проходящей через 
Полезно привести соответствующие формулы, полученные из интерполяционного полинома Ньютона по восходящим разностям и интерполяционного полинома Стирлинга, где используются разности, расположенные соответственно на восходящей диагонали и по обеим сторонам горизонтали, проходящей через 
Интерполяционный полином Ньютона по восходящим разностям дает
где индекс а равен показателю при 
Точно Так же применение интерполяционного полинома Стирлинга дает
Пример. Вычислим производную 
для 
пользуясь таблицей разностей этой функции, приведенной в п. 
Здесь следует применить первую формулу (48), где используются разности, находящиеся на нисходящей диагонали, начиная с 0,515. Тогда
Точное значение 
равно
С помощью той же таблицы вычислим 
При этом следует применить первую формулу, полученную из полинома Стирлинга, где используются разности, находящиеся в непосредственной близости с горизонталью, проходящей через 0,518. Тогда
Точное значение у (0,518) равно
Замечание. В случае эмпирической кривой, где ординаты получаются с погрешностями, рассмотренные способы вычисления производных приводят часто к обескураживающим результатам. Можно сравнить численное разыскание производной функции, известной приближенно, с графическим проведением касательной к грубо начерченной кривой. Легко сообразить, что небольшое изменение формы кривой вблизи рассматриваемой точки значительно влияет на ход касательной, тогда как область, ограниченная кривой, меняется при этом очень мало.
