5.5.14. Плоские волны.
Рассмотрим простой случай распространения плоских волн. Этот случай особенно важен практически. В самом деле, кристаллы кварца, употребляемые для определения частот или как фильтры, имеют почти всегда форму тонких пластин. А при такой форме упругие колебания сводятся главным образом к плоским волнам, параллельным плоскостям пластины.
Плоскость определяется компонентами
единичного вектора
перпендикулярного к ней, и расстоянием
до плоскости от начала координат (нормальное уравнение плоскости). Все точки любой плоскости, содержащей рассматриваемую плоскую волну, движутся в одинаковой фазе, иначе говоря, их положение зависит только от переменной
(времени) и от переменной
(расстояния до плоскости от начала координат). В этом случае
Уравнение движения принимает вид
где
общая компонента симметричного тензора
, который получится, если обозначить
Если
одно из собственных значений матрицы
(в силу симметрии ее собственные значения вещественны, а собственные направления взаимно перпендикулярны), то
иными словами,
При этом уравнение движения приобретает форму уравнения колебаний упругой нити
Если определить направление перемещения и с помощью единичного вектора
этого направления (не зависящего от тензоров
и зависящего только от
):
то получим
при этом имеет место распространение плоской волны со скоростью
Так как характеристическое уравнение, определяющее собственные значения матрицы
представляет собой уравнение третьей степени
то в направлении вектора
с компонентами
распространяются три плоские волны, соответствующие трем корням этого уравнения
со скоростями —
Каждая из этих волн создается движением частиц в направлении, определяемом вектором но. Все три направления, отвечающие корням
взаимно перпендикулярны. Движение любой частицы рассматриваемой плоскости является результирующей трех движений, определенных указанным выше способом.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
(см. скан)