7.6.22. Присоединенные функции Лежандра для целых положительных индексов.

Предположим сначала, что z вещественное или соответственно Сделаем подстановку

в дифференциальное уравнение (97). Функция должна удовлетворять уравнению

Оно совпадает с дифференциальным уравнением Лежандра, продифференцированным раз, в котором производная порядка взята за новую функцию. Отсюда

или

Первая из этих функций производная полинома Лежандра это полином степени, известный под названием функции Гельмгольца. Конечно, если то функция Гельмгольца равна нулю. Таким образом, получены частные решения дифференциального уравнения (97):

Используя (105), находим

Отсюда получаем таблицу присоединенных функций:

(см. скан)

Используя формулы (149), (143) и (144), получаем

Единственные конечные решения (97) в интервале дают функции

Определим функции (см. вычисления из п. 6.3.11) для комплексных z и для вещественных z, расположенных вне промежутка с помощью равенств:

(ср. с (142)). Если нечетное число, то, чтобы сделать функцию однозначной, следует в плоскости точки соединить разрезом. Что касается функции то этот разрез уже был сделан в силу ее определения. При больших имеем

Полезно заметить, что выражения

вещественны.

Свойства функций аналогичны свойствам полиномов Лежандра. Равенство

соответствует формуле Родрига, к которой оно и сводится при Продифференцировав раз соотношение (106), мы убедимся, что коэффициент при в разложении равен

Отсюда получается производящая функция для Используя функцию

можно определить через интеграл Коши, обобщающий интеграл Шлефли (123). Точно так же можно определить через определенный интеграл, обобщающий интеграл Лапласа, из п. 7.6.6:

Рекуррентные формулы для присоединенных функций Лежандра выводятся в п. 7.6.23, а вопрос об ортогональности этих функций рассматривается в п. 7.6.24.

7.6.23. Рекуррентные соотношения.

Функции и полином представляют собой соответственно частные решения дифференциального уравнения (97) и уравнения

Если умножить уравнение (153) на то, в силу (148), можно написать равенство

представляющее собой рекуррентное соотношение между функциями

Рассмотрим рекуррентную формулу (135), написанную для Это соотношение, продифференцированное раз, дает

Продифференцировав раз формулу (112), получаем

Исключив из двух последних соотношений, находим

Соотношение (156), умноженное на дает рекуррентную формулу между

Если в соотношении (155) заменить на и результат замены умножить на то получим

— рекуррентное соотношение между

Заменив в на и исключив с помощью соотношения (157), получим

— рекуррентное соотношение между

Заменив в его выражением, полученным из (158), где заменено на найдем

— рекуррентное соотношение между