7.7.7. Функции Матье для произвольных а и q.
Уравнение Матье представляет собой частный случай уравнения Хилла. Из вычислений 4.2.21 следует: если 
частное решение уравнения Матье, то существует 
такое, что
Рассмотрим функцию 
Имеем
Следовательно, функция 
имеет период 
и допускает разложение в ряд Фурье вида
Частное решение 
равно
Другое частное решение, линейно независимое от 
(при 
будет
Следовательно, общее решение уравнения Матье имеет вид
Решение называется устойчивым, если оно остается конечным при бесконечном возрастании 
и неустойчивым в противном случае. Характер устойчивости решения (174) определяется значением параметра 
Мы видели в п. 4.2.21, что число а либо вещественное, либо чисто мнимое. При вещественном 
решение неустойчиво. При чисто мнимом 
решение устойчиво. Если, кроме того, 
— рациональная дробь, 
(
— целое число, 
взаимно простые, 
то решение будет периодично с периодом 
Эти решения называются функциями Матье с дробным индексом. Если 
мы снова приходим к функциям Матье первого рода. В последнем случае частные решения из (174) линейно зависимы, т. е. (174) не есть общий интеграл. Отсюда возникает необходимость наряду с функциями Матье первого рода рассматривать функции Матье второго рода (это уже отмечалось нами). Если 
не рациональная дробь, то решение устойчиво, но не периодично. Можно показать, что случай устойчивости соответствует таким значениям 
что изображающая их точка на рис. 7.55 находится в одной из заштрихованных зон. Напомним, что линии на рис. 7.55 (кривые 
соответствуют функциям Матье первого рода. Эти кривые представляют собой границы, отделяющие зоны устойчивости от зон неустойчивости.
Рассмотрим более подробно решение с дробным индексом. Изменяя индекс суммирования, можно добиться выполнения, условия 
Тогда общее решение (174) перепишется в виде
Мы можем рассматривать 
как линейную комбинацию двух частных решений:
При помощи формул, аналогичных формулам (168), можно, с точностью до постоянного множителя, определить функции Матье с дробным индексом;
Как 
легко показать, что функции Матье с дробным индексом. соответствующие одному и тому же значению 
(здесь функции 
могут одновременно существовать при одинаковых 
ортогональны. Неопределенный постоянный множитель, содержащийся в формулах (175). будем находить из условий:
из которых следует
Присоединенные функции Матье с дробным индексом определяются выражениями
Свойства этих функций выводятся из свойств 
(начиная с формул определения).
