7.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ
7.4.1. Определение.
Гамму-функцию 
можно определить для всех вещественных или комплексных значений z с помощью бесконечного произведения
В этой формуле у обозначает постоянную Эйлера. Она определяется формулой
Очень возможно, что постоянная Эйлера — трансцендентное число, хотя это еще не доказано строго. Первые цифры ее равны
Хорошее приближение к 
дается простой формулой
Другое определение гамма-функции можно дать с помощью соотношения
Действительно, формулу (2) можно записать в виде
откуда
Умножим правую часть этой формулы на следующий множитель, равный единице:
Тогда
Заметив, что величина 
стремится к 
мы приходим к формуле (1). Отсюда вытекает справедливость формулы (2).
Можно также определить гамма-функцию через определенный интеграл:
Для доказательства сначала вычислим
Положим 
Тогда 
Интегрируя по частям, получаем
Если 
то внеинтегральный член равен нулю. Поэтому 1 1
т. е.
Следовательно,
Переходя к пределу при 
получим
