3.3.4. Смысл скаляра div a.
Из формулы Остроградского следует, что полный поток вектора а через замкнутую поверхность, ограничивающую бесконечно малый объем 
равен 
Следовательно, дивергенция, вычисленная в точке векторного поля, приближенно равна потоку, выходящему из единицы объема, окружающего эту точку. Точное значение дивергенции векторного поля а может быть определено следующим образом:
Рассмотрим движение жидкости. Пусть ее плотность 
и скорость движения а — соответственно скалярная и векторная функции точки пространства и времени 
Предположим, что 5 — произвольная поверхность в пространстве, заполненном жидкостью, и 
орт внешней нормали к этой поверхности. Масса жидкости, проходящая в направлении 
за единицу времени через поверхность 
равна
Если поверхность 
замкнута и ограничивает объем z, то полученная формула дает массу жидкости, вытекающую за единицу времени из z. С другой стороны, увеличение массы жидкости внутри объема 
за единицу времени равно
Применяя теорему Остроградского, получим
Если предположить, что внутри z отсутствуют источники и стоки, то
Это равенство справедливо для любого объема 
рассматриваемого поля. В силу непрерывности функций и их производных (ср. п. 3.3.7)
Уравнение (51) называется уравнением неразрывности жидкости. Если жидкость несжимаемая, то
Если, кроме того, скорость а равна производной от скалярного потенциала 
, а плотность 
постоянна, то уравнение неразрывности принимает вид
Это уравнение можно непосредственно применить к электрическому полю, если вместо плотности жидкости 
взять плотность электрических зарядов, движущихся со скоростью а.
Введем обозначения: 
— температура, 
— плотность, 
коэффициент внутренней теплопроводности и с — удельная теплоемкость тела в рассматриваемой точке (скалярные функции). Количество тепла, вытекающего через поверхность 
равно
С другой стороны, увеличение количества тепла внутри 
равно
Отсюда по аналогии с предыдущим случаем получаем
Это уравнение теплопроводности.
В случае однородной среды и при стационарном распределении температуры уравнение теплопроводности принимает вид
